1742年哥德巴赫发现这样一个事实:6=3+3,12=5+7,18=11+7,……等,于是他在1742年6月7日写信给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉。哥德巴赫在信中说:”我的问题是这样的:随便取某一个奇数,比如77,可以把它写成三个素数之和:77=53+17+7;再任取一个奇数,比如461,461=449+7+5,也是三个素数之和,461还可以写成257+199+5,仍然是三个素数之和。我发现:这样任何大于5的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢?虽然做过的每一次试验都得到了上述结果,但是不可能把所有的奇数都拿来检验,需要的是一般的证明,而不是个别的检验。”
这就是著名的哥德巴赫猜想(见本文后的复印件)。
当哥德巴赫把这个问题告诉给欧拉,并请欧拉告诉他应当怎样作出证明。 欧拉看过信之后,认真地思考了这个问题。他首先逐个核对了一张长长的数字表:
6=2+2+2=3+3
8=2+3+3=3+5
9=3+3+3=2+7
10=2+3+5=5+5
11=5+3+3 |
12=5+5+2=5+7
99=89+7+3
100=11+17+71=97+3
101=97+2+2
102=97+2+3=97+5 ……
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这张表可以无限延长,而每一次延长都使欧拉对肯定哥德巴赫的猜想增加了信心。同时他发现证明这个问题实际上应该分成两部分,即证明所有大于2的偶数总能写成2个质数之和,所有大于7的奇数总能写成3个质数之和:
(a) 任何一个大于2的偶数,都可以表示成两个素数之和;
(b) 任何一个大于7的奇数,都可以表示成三个素数之和。
欧拉确信这一结论是对的。在6月30日给哥德巴赫回信,他在信中说:“任何大于2的偶数都是两个质数的和,虽然我还不能证明它,但我确信无疑这是完全正确的。”同时欧拉又提出了另一个命题:“任何一个大于2的偶数都是两个素数之和”。但是这个命题他也没能给予证明。不难看出,哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上,任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式:2N+1=3+2(N-1),其中2(N-1)≥4
。
若欧拉的命题成立,则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和,于是奇数2N+1可以写成三个素数之和,从而,对于大于5的奇数,哥德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。
实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法,因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。1937年,苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和,基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于问题实在太困难了,数学家们开始研究较弱的命题:每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和,简记为“m+n”。
欧拉从接到信后,就开始着手考虑如何证明,但是他用尽了各种办法尝试,直到离开人世,也没有证明出来。之后,哥德巴赫带着一生的遗憾也离开了人世,给后人留下了这道数学难题。
由于欧拉是颇负盛名的数学家、科学家,他对猜想的判断与信心吸引着无数科学家试图去证明它,但直到19世纪末也没有取得任何进展。这一看似简单,但实际是困难无比的数论问题长期困扰着数学家,因此有人把它比作“数学皇冠上的一颗明珠。”
叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功。
哥德巴赫猜想世界近代三大数学难题之一。
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