有趣而稀少的完美数

完全数,又称完美数,是一些特殊的自然数,它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和,恰好等于它本身。

关于完全数的研究至少已经有两千多年的历史。完全数最早是由毕达哥拉斯的信徒发现的。他们发现,数6的一个特点,6=1+2+3 ,就是它等于它自己的所有因子(不包括它自身)的和,下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+14。后面接着是496和8128。

         

人们称这类数为完美数。大约是在公元前350-300年期间欧几里得证明了: 若2 n-1是素数,则数2n-1(2n-1)是完全数。他在《几何原本》中就讨论有关寻求某种类型完全数的问题。

  

完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,如每个完全数都是三角形数。即都能写成:n(n+1)/2 

 


6=1+2+3=3*4/2
28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2
496=1+2+3+4+……+31=31*32/2
……
2 n-1(2n-1)=1+2+3+……+(2n-1)=(2n-1)2n/2

      

除了6之外它们都是连续奇数的立方和。把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1。


22(23-1)=28=13+33
24(25-1)=496=13+33+53+73
26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153
……
2n-1(2n-1)=13+33+53+……+(2(n+1)/2-1)3

 除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1。


1/2+1/3+1/6=1
1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1

 

完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾。

 

下面是完全数用二进制的表示: 
110
11100
111110000
1111111000000……

 

数论里有一个著名的函数σ(n),表示自然数n的所有因子之和,包括因子n本身在内。于是利用σ(n)。完全数可以定义为使得σ(n)=2n的数。注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数。

17世纪的法国教士马丁·梅森是其中成果较为卓著的一位,因此后人将“2的n次方减1”形式的
素数称为梅森素数。欧拉证明了欧几里得关于完全数定理的逆定理,即:每个偶完美数都具有这种形式: 2P-1 (2P-1),其中2P-1是素数。

这就在完全数与梅森数之间建立了紧密的联系,到目前为止,共发现了46个梅森素数,这就是说已发现了46个完全数。

下表给出了前18个完全数:

完全数Pp 序号 p Mp的位数 Pp的位数 年代 发现者
6 1 2 1 1 ---- ----
28 2 3 1 2 ---- ----
496 3 5 2 3 ---- ----
8128 4 7 3 4 ----  ---- 
33550336 5 13 4 8 1456 anonymous
8589869056 6 17 6 10 1588 Cataldi
137438691328 7 19 6 12 1588 Cataldi
2305843008139952128 8 31 10 19 1772 Euler
  9 61 19 37 1883 Pervushin
  10 89 27 54 1911 Powers
  11 107 33 65 1914 Powers
  12 127 39 77 1876 Lucas
  13 521 157 314 1952 Robinson
  14 607 183 366 1952 Robinson
  15 1279 386 770 1952 Robinson
  16 2203 664 1327 1952 Robinson
  17 2281 687 1373 1952 Robinson
  18 3217 969 1937 1957 Riesel