人们称这类数为完美数。大约是在公元前350-300年期间欧几里得证明了: 若2 n-1是素数,则数2n-1(2n-1)是完全数。他在《几何原本》中就讨论有关寻求某种类型完全数的问题。
完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,如每个完全数都是三角形数。即都能写成:n(n+1)/2
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6=1+2+3=3*4/2
28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2
496=1+2+3+4+……+31=31*32/2
……
2 n-1(2n-1)=1+2+3+……+(2n-1)=(2n-1)2n/2
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除了6之外它们都是连续奇数的立方和。把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1。 |
22(23-1)=28=13+33
24(25-1)=496=13+33+53+73
26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153
……
2n-1(2n-1)=13+33+53+……+(2(n+1)/2-1)3
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除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1。
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1/2+1/3+1/6=1
1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1
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完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾。
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下面是完全数用二进制的表示:
110
11100
111110000
1111111000000……
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数论里有一个著名的函数σ(n),表示自然数n的所有因子之和,包括因子n本身在内。于是利用σ(n)。完全数可以定义为使得σ(n)=2n的数。注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数。
17世纪的法国教士马丁·梅森是其中成果较为卓著的一位,因此后人将“2的n次方减1”形式的
素数称为梅森素数。欧拉证明了欧几里得关于完全数定理的逆定理,即:每个偶完美数都具有这种形式:
2P-1 (2P-1),其中2P-1是素数。
这就在完全数与梅森数之间建立了紧密的联系,到目前为止,共发现了46个梅森素数,这就是说已发现了46个完全数。
下表给出了前18个完全数:
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