这样的N是有限个,还是无穷多个?
对于已经给定的N,如果有回归数,那么有多少个回归数?
我们来看看这种回归数有什么规律呢?
1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(Anthony Diluna)巧妙地证明了使N位数成为回归数的N只有有限个。设An 是这样的回归数,即:
An=a1a2a3……an=a1n+a2n+……+ann (其中 0<=a1,a2,……an<=9)
从而 10n-1<=An<=n9n 即 n 必须满足 n9n>10n-1 也就是 (10/9)n<10n ⑴
随着自然数N的不断增大,,(10/9)n 值的增加越来越快,很快就会使得 ⑴ 式不成立,因此,满足⑴的 n 不能无限增大,即 n 只能取有限多个.进一步的计算表明:
(10/9)60=556.4798...<10*60=600 (10/9)61=618.3109...>10*61=610
对于 n>=61,便有 (10/9)n>10n
由此可知,使(1)式成立的自然数 n<=60,故这种回归数最多是60位数,迪拉那说,他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数:
一位回归数 (夜百荷数) |
:1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
二位回归数:不存在 (菊花数) |
(20,4,16,37,58,89,145,42) |
三位回归数 (水仙花数) |
153, 370, 371, 407 |
四位回归数 (桃花数) |
1634,8208,9474 |
五位回归数 (梅花数) |
54748,92727,93084 |
六位回归数(雪花数) |
548834 |
七位回归数(玫瑰数) |
1741725,4210818,9800817,9926315 |
八位回归数(牡丹数) |
24696050,24696051,88593477 |
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九位回归数 () |
146511208, 472335975,534494836 ,912985153 |
十位回归数 () |
4679307774 |
十一位回归数 |
82693916578 44708635679 94204591914 32164049651 42678290603 40028394225
32164049650 49388550606 |
十二位回归数 |
无解 |
十三位回归数 |
0564240140138(只有广义解一组) |
十四位回归数 |
28116440335967 |
十五位回归数 |
无解 |
十六位回归数 |
4338281769391371 4338281769391370 |
十七位回归数 |
35641594208964132 21897142587612075 35875699062250035 233411150132317(广义解) |
十八位回归数 |
无解 |
十九位回归数 |
4498128791164624869 4929273885928088826 3289582984443187032 1517841543307505039 |
二十位回归数 |
14543398311484532713 63105425988599693916 |
二十一位回归数 |
128468643043731391252 449177399146038697307 |
二十二位回归数 |
无解 |
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三十二位回归数 |
17333509997782249308725103962772 |
五十六位回归数 |
02193762240761908392137860899658607674401938496187046968
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但是此后对于哪一个自然数 n (<=60)还有回归数?对于已经给定的n
,能有多少个回归数?最大的回归数是多少?
12、13、15、18、22
3、现基本找齐60以内的广义花朵数,已找到的最大的广义花朵数为
02193762240761908392137860899658607674401938496187046968
位数:02193762240761908392137860899658607674401938496187046968
三、循环圈花朵数,我们将完整花朵数与广义花朵数都看做循环次数(周期)为1次的循环圈花
朵数。那么,一般地循环次数为M的就叫M次循环圈花朵数。1本身也是一个特殊的1次循环圈花朵
数。当N是大于0的整数时:
1、对于任意N位数,N次幂来说,循环圈花朵数一定存在,至少有一个圈存在,如N等于2。
2、对于任意N位数,N次幂来说,最小的圈循环次数(周期)(1本身也是一个特殊的循环圈花朵数,除开1这个数之外)不一定是1,也不一定是2,对于不同的N来说不一样,如N=12时,最小的圈是5,它们是:
785119716404(5次),
381286065015,
142281334933,
351184701607,
098840282759,
N=18时,最小的圈是2,它们是:187864919457180831,375609204308055082,
3、对于任意N位数,N次幂来说,最大的圈相对N位数来说是很小的,但可能上千万,甚至上亿。已找到的最大的圈超过了亿。
4、我们将循环圈花朵数又叫圈内数或圈上数,非循环圈花朵数又叫圈外数。1的N次幂也等于1,因此,1是循环次数(周期)为1次的循环圈花朵数,也是圈内数。对于任意N位数,N次幂来说,可将N位数分为圈内数和圈外数,所有的圈外数,经过一定次数的N次幂运算后会进入圈内数。
四、一般地广义来讲,对于任意一个数(可以在有理数范围,且不受位数限制),对正整数N(可也是0)次幂运算来说。
1、至少存在一个圈,如N=0,只有一个圈,圈上数为1,其它所有的数,经过一次运算后,即进入圈。
2、对于一定的N来说,圈子的个数是定值。
3、对于一定的N来说,最小的圈除1之外,最小的圈循环次数(周期)不一定是1,也不一定是2,对于不同的N不一样,如N=12时,最小的圈是5。
4、对于一定的N来说,最大的圈相对N位数来说是很小的,但可能上千万,甚至上亿。已找到的最大的圈超过了亿。
5、对于N次幂来说,可将所有的有理数分为圈内数和圈外数,所有的圈外数,经过一定次数的N次幂运算后会进入圈内数。
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