神奇的回归数猜想

英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877——1947)曾经发现一个有趣的现象,就是有这样一些数,他们都是三位数,而且他们等于各位数字的三次幂之和,例如153=13+53+33 ,371=33+73+13 ,370=33+73+03 ,407=43+03+7 这种巧合真的是很奇妙。

有人在读了哈代这个有趣的发现后,又在有多位的数字中寻找符合这个规律的数,最后也真的找到这样一些数字。人们把这种其值等于各位数字的N次幂之和的N 位数,称为N位N 次幂回归数。

例如,数字四(五,六)次幂之和的四(五,六)位数1634=14+64+34+44,54748=55+45+75+45+85 ,548834=56+46+86+86+36+46 ,人们自然会问,什么样的自然数N有回归数?

 

这样的N是有限个,还是无穷多个? 对于已经给定的N,如果有回归数,那么有多少个回归数?  我们来看看这种回归数有什么规律呢?

1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(Anthony Diluna)巧妙地证明了使N位数成为回归数的N只有有限个。设An 是这样的回归数,即:

An=a1a2a3……an=a1n+a2n+……+ann (其中 0<=a1,a2,……an<=9)

从而 10n-1<=An<=n9n 即 n 必须满足 n9n>10n-1 也就是 (10/9)n<10n ⑴

随着自然数N的不断增大,,(10/9)n 值的增加越来越快,很快就会使得 ⑴ 式不成立,因此,满足⑴的 n 不能无限增大,即 n 只能取有限多个.进一步的计算表明:

(10/9)60=556.4798...<10*60=600 (10/9)61=618.3109...>10*61=610

对于 n>=61,便有 (10/9)n>10n

由此可知,使(1)式成立的自然数 n<=60,故这种回归数最多是60位数,迪拉那说,他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数:

一位回归数 (夜百荷数) :1,2,3,4,5,6,7,8,9
二位回归数:不存在 (菊花数)  (20,4,16,37,58,89,145,42)
三位回归数 (水仙花数)  153, 370, 371, 407
四位回归数 (桃花数)  1634,8208,9474
五位回归数 (梅花数)  54748,92727,93084
六位回归数(雪花数) 548834
七位回归数(玫瑰数) 1741725,4210818,9800817,9926315 
八位回归数(牡丹数) 24696050,24696051,88593477 
   
九位回归数 () 146511208, 472335975,534494836 ,912985153 
十位回归数 () 4679307774
十一位回归数 82693916578 44708635679 94204591914 32164049651 42678290603 40028394225  32164049650 49388550606 
十二位回归数 无解
十三位回归数 0564240140138(只有广义解一组) 
十四位回归数 28116440335967 
十五位回归数 无解 
十六位回归数 4338281769391371 4338281769391370 
十七位回归数 35641594208964132 21897142587612075 35875699062250035 233411150132317(广义解) 
十八位回归数 无解 
十九位回归数 4498128791164624869 4929273885928088826 3289582984443187032 1517841543307505039 
二十位回归数 14543398311484532713 63105425988599693916 
二十一位回归数 128468643043731391252 449177399146038697307 
二十二位回归数 无解 
   
三十二位回归数 17333509997782249308725103962772
五十六位回归数 02193762240761908392137860899658607674401938496187046968

但是此后对于哪一个自然数 n (<=60)还有回归数?对于已经给定的n ,能有多少个回归数?最大的回归数是多少?  12、13、15、18、22

3、现基本找齐60以内的广义花朵数,已找到的最大的广义花朵数为

02193762240761908392137860899658607674401938496187046968

位数:02193762240761908392137860899658607674401938496187046968

三、循环圈花朵数,我们将完整花朵数与广义花朵数都看做循环次数(周期)为1次的循环圈花
朵数。那么,一般地循环次数为M的就叫M次循环圈花朵数。1本身也是一个特殊的1次循环圈花朵
数。当N是大于0的整数时:

1、对于任意N位数,N次幂来说,循环圈花朵数一定存在,至少有一个圈存在,如N等于2。

2、对于任意N位数,N次幂来说,最小的圈循环次数(周期)(1本身也是一个特殊的循环圈花朵数,除开1这个数之外)不一定是1,也不一定是2,对于不同的N来说不一样,如N=12时,最小的圈是5,它们是:

785119716404(5次),

381286065015,

142281334933,

351184701607,

098840282759,

N=18时,最小的圈是2,它们是:187864919457180831,375609204308055082,

3、对于任意N位数,N次幂来说,最大的圈相对N位数来说是很小的,但可能上千万,甚至上亿。已找到的最大的圈超过了亿。

4、我们将循环圈花朵数又叫圈内数或圈上数,非循环圈花朵数又叫圈外数。1的N次幂也等于1,因此,1是循环次数(周期)为1次的循环圈花朵数,也是圈内数。对于任意N位数,N次幂来说,可将N位数分为圈内数和圈外数,所有的圈外数,经过一定次数的N次幂运算后会进入圈内数。

四、一般地广义来讲,对于任意一个数(可以在有理数范围,且不受位数限制),对正整数N(可也是0)次幂运算来说。

1、至少存在一个圈,如N=0,只有一个圈,圈上数为1,其它所有的数,经过一次运算后,即进入圈。

2、对于一定的N来说,圈子的个数是定值。

3、对于一定的N来说,最小的圈除1之外,最小的圈循环次数(周期)不一定是1,也不一定是2,对于不同的N不一样,如N=12时,最小的圈是5。

4、对于一定的N来说,最大的圈相对N位数来说是很小的,但可能上千万,甚至上亿。已找到的最大的圈超过了亿。

5、对于N次幂来说,可将所有的有理数分为圈内数和圈外数,所有的圈外数,经过一定次数的N次幂运算后会进入圈内数。