什么是“等幂和问题”?

现在请看两组自然数,每组各有三个数,每个都是六位数字。把这两组数分别相加,你会发现它们的和是完全相等的,即:123789+561945+642864=242868+323787+761943

这当然并不稀罕。可是,要知道它们各自的平方之和也是完全相等的,那就是说:

1237892+5619452+6428642=2428682+3237872+7619432

还有更奇妙的呢!我们把每个数的最左边一个数字依次抹掉,发现竟然不能改变数组的性质,即有:23789k+61945k+42864k=42868k+23787k+61943k
  3789k+1945k+2864k=2868k+3787k+1943k
  … …
  9k+5k+4k=8k+7k+3k(k=1,2)
这就像“金蝉脱壳”一样,脱掉最后一层,金蝉却还是货真价实的金蝉,其个性可谓至死不变!

现在我们反其道而行之,把原来两组数的数字逐个从右边抹掉,发现经过如此的变动之后,这种“金蝉脱壳”性质居然还能保持下来,即有:
  12378k+56194k+64286k=24286k+32378k+76194k
  1237k+5619k+6428k=2428k+3237k+7619k
  … …
  1k+5k+6k=2k+3k+7k(k=1,2)

你说奇不奇,妙不妙?!

其实,上面所说的就是数论中著名的“等幂和问题”,由于等幂和数组往往具有“金蝉脱壳,至死不变”的性质,极具欣赏价值,所以一直吸引着人们去探寻更多的等幂和数组,那么,等幂和数组是怎样构造出来的呢?我们还是从最简单的情形谈起。

  为了叙述方便,我们把上述等幂和数组记为:

<123789,561945,642864/242868,323787,761943>(*)以下类同。

上述形式的一位数等幂和数组有:
   <1,5,6/2,3,7> <2,6,4/4,2,6> <3,1,2/2,3,1>
   <7,9,8/8,7,9> <8,4,6/6,8,4> <9,5,4/8,7,3>

  我们注意到等幂和数组(*)中相同数位上的数字就是上述数组中的数。因此,如果能找到某种规律,我们就能从已知的等幂和数级出发,构造出新的等幂和数组。为此,我们把构成数组(*)的一位数数组列举出来,并把其中的数从小到大排列,然后把对应的烽边接起来,看看有无什么现象。

不难看出,等幂和数组(*)是上述六个等幂和数组的“对称组合”——仔细看看,左边与右边的箭头是不是相对称?

一个很自然的问题是:把已知的若干等幂和数组中和数从小到大排列之后,进行对称组合,能不能形成新的等幂和数组呢?经过大量实验,我们发现结论是肯定的。大家可以试着组合一下。在此,我再向大家推荐另外一等幂和数组:
  <193333,648787,854842/276466,482521,937975>
  这组数经过上述方法对称组合后,能构造出如下一些等幂和数组:
  <158832,644743,893383/237925,486561,972476>
  <257,342,796/134,588,673>
  <3811,7666,8158/4932,5424,9279>
  <25627,46873,94162/18946,63235,87481>

  需要指出的是,参与构造新等幂和数组的数组也可以是恒等幂和数组,不过其中三个数应能构成等差数列。例如<3,5,7/3,5,7>就能参与构造。综上所述,我们找到了一种构造等幂和数组的方法,从而也就不难理解等幂和数组为什么往往具有“金蝉脱壳”的性质了。

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