有趣的黑洞数游戏——神秘的 6174!

 

任何一个数字不全相同整数,经有限次“重排求差”操作,总会得某一个或一些数,这些数即为黑洞数。“重排求差”操作即组成该数得重排后的最大数减去重排的最小数。

(1)请你随便写出一个四位数K0,它的四个数字可以是部分相同的,但不能四个数字完全相同,如3333,7777是不可以的;

(2)把数中的各位数字按从大到小的顺序排列成一个新的四位数Fmax;

(3)然后在把数的各位数字按从小到大的顺序重新排列成另一个四位数Fmin;

(4)将得到的这两个四位数,用最大的Fmax减去最小者Fmin,即Fmax-Fmin,就得到另一个四位数Kj。

 对得到这个四位数施行同样的(2)至(4)操作,又得到另一个四位数Kj+1,……这样循环下去,一定在经过若干次(最多7次)变换之后,你会得到一个数6174。这是偶然的吗?

你可以再换一个数字试一试。例如,我们取数8208,重新排列后最大数为8820,最小数为0288,8820—0288=8532;对8532重复以上过程:8532-2358=6174。这次经过两步变换就掉入6174这个“陷阶”。 

苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中,曾提到了这个奇妙的四位数6174,并把它列作“没有揭开的秘密”。其实近年来,由于有很多数学爱好者参与研究这个问题,已经取得了一定的进展。

6174有什么特别之处呢?

6174猜想

1955年,卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研究了对四位数的一种变换,任给出四位数k0,把它的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m,再减去它的反序数rev(m),得出数k1=m-rev(m),然后,继续对k1重复上述变换。得数k2。如此进行下去,卡普耶卡发现,无论k0是多大的四位数,只要四个数字不全相同,最多进行7次上述变换,就会出现四位数6174。例如:k0=5298,k1=9852-2589=7263,k2=7632-2367=5265,k3=6552-2556=3996,k4=9963-3699=6264,k5=6642-2466=4176,k6=7641-1467=6174。

人们称这个问题为“6174问题”,上述变换称为卡普耶卡变换,简称K 变换。一般地,只要在0,1,2,……,9中任取四个不全相等的数字组成一个整数k0 (不一定是四位数),然后从k0开始不断地作K变换,得出数k1,k2,k3,……,则必有某个m(m=<7),使得km=6174。

更一般地,从0,1,2,……,9中任取n个不全相同的数字组成一个十进制数k0(不一定是n位数),然后从k0开始不断地做K变换,得出k1,k2,……,那么结果会是怎样的呢? 目前已经知道的情况如下表所示:

n=2 只能形成一个循环 27,45,09,81,63。 例如取两个数字7与3,连续不断地做K变换,得出36,27, 45, 09,81,27
n=3 只能形成一个循环 495
n=4 只能形成一个循环 6174
n=5 已经发现三个循环 (53855,59994),(62964,71973,83952,74943),(63954,61974,82962,75933)
n=6 已经发现三个循环 642654,631764,549945。
n=7 已经发现一个循环 8719722
n=8 已经发现四个循环 63317664,97508421,83208762,86308632。
n=9 已经发现三个循环 864197532,975296421,965296431。

我们再随便举一个数1331,按上面的方法连续去做:3311-1133=2178,8721-1278=7443,7443-3447=3996,9963-3699=6264,6624-2466=4174 7641-1467=6174,看!6174这个“幽灵”又出现了,大家可以试一试,对于任何一个数字不完全相同的四位数,最多运算7步,必然落入“黑洞”。  

要说明的是:以0开头的数,例如0288也得看成一个四位数。再如,我们开始取数2187,按要求进行变换:2187→8721-1278=7443→7443-3447=3996→9963-3699=6264→6642-2466=4176→7641-1467=6174。这次经过五步变换就掉入了“黑洞”——6174。拿6174 本身来试,只需一步:7641-1467=6174,就跌入“黑洞”了。   

所有的四位数都会掉入6174的“黑洞”,不信你可以随便取一些数进行验证。验证之后,你不得不感叹6174的奇妙。

容易证明,对于任何自然数n>=2,连续做K变换必定要形成循环。这是因为由n个数字组成的数只有有限个的缘故。但是对于n>=5,循环的个数以及循环的长度(指每个循环中所包含数的个数)尚不清楚,这也是国内一些数学爱好者热衷于研究的一个课题。在数学中还有很多这样有趣的问题,等待着人们去发现和探索!