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角谷猜想

这里向大家介绍一个近几年来,始发于欧美、风靡全球的趣味数学游戏——“角谷猜想”问题。

  “角谷猜想”又称“冰雹猜想”。它首先流传于美国,不久便传到欧洲,后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲,因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”。其实,叫它“冰雹猜想”更形象,也更恰当。 

为什么叫它“冰雹猜想”呢?顾名思义,这首先要从自然现象——冰雹的形成谈起。 

 

大家知道,小水滴在高空中受到上升气流的推动,在云层中忽上忽下,越积越大并形成冰,最后突然落下来,变成冰雹。 

“冰雹猜想”就有这样的意思,它算来算去,数字上上下下,最后一下子像冰雹似地掉下来,变成一个数字:“1”. 

  这个数学猜想的通俗说法是这样的:任意给一个自然数N,如果它是偶数,就将它除以2,即将它变成。对任意的一个自然数施行这种演算手续,经有限步骤后,最后结果必然是最小的自然数1。 
  对这个猜想,你不妨任意挑几个数来试一试: 

若 N=9,则 9×3+1=28, 28÷2=14, 14÷2=7, 7×3+1=22,22÷2=11,11×3+1=34,34÷2=17,17×3+1=52,52÷2=26, 26÷2=13,13×3+1=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1。

你看,经过19个回合(这叫“路径长度”),最后变成了“1”。

若 N=120,则120÷2=60,60÷2=30,30÷2=15,15×3+1=46,46÷2=23,23×3+1=70,70÷2=35,35×3+1=106,106÷2=53,53×3+1=160,160÷2=80,80÷2=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1。

你看,经过20个回合,最后也仍然变成了“1”。

有一点更值得注意,假如N是2的正整数方幂,则不论这个数字多么庞大,它将“一落千丈”,很快地跌落到1。例如: N=65536=216 则有:65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1。

你看,它的路径长度为16,比9的还要小些。 

我们说“1”是变化的最终结果,其实不过是一种方便的说法。严格地讲,应当是它最后进入了“ 1→4→2→1”的循环圈。这一结果如此奇异,是令人难以置信的。曾经有人拿各种各样的数字来试,但迄今为止,总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环。已经验证的最大数目,已达到1099511627776。

由于数学这门科学的特点,尽管有了如此众多的实例,甚至再试验下去,达到更大的数目,但我们仍不能认为“冰雹猜想”已经获得证明,因此还只能称它为一个猜想。

(在我们所查阅的资料中,尚未见到对这一猜想的完整证明。)可想而知,要证明它或推翻它,都是很不容易的,要设法说出它的实质,也似乎是难上加难。

不仅如此,对于“角谷猜想”,人们在研究过程中或作出了改动,或进行了推广,得出的结果同样富有奇趣。比如,对于“角谷猜想”若作如下更动:
  任给一个自然数,若它是偶数,则将它除以2;若它是奇数,则将它乘以3再减1.……如此下去,经过有限次步骤运算后,它的结果必然毫无例外地进入以下三个死循环: 

①1→2→1;②5→14→7→20→10→5; 
  ③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17. 
  亲爱的读者,你能对它们作出证明吗?更进一步,你能作出新的发现,为数学这个百花园增添新的奇光异彩吗?