古埃及数学
埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸，公元前3200年左右，形成一个统一的国家。尼罗河是埃及人生命的源泉，他们靠耕种河水泛滥后淤土覆盖的田地谋生。尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐发展成为几何学。由于他们也得准备好应付洪水的危害，因此就得预报洪水到来的日期。这就需要计算。
埃及人还把他们的天文知识和几何知识结合起来用于建造他们的神庙，使一年里某几天的阳光能以特定方式照射到庙宇里。公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。
金字塔是代表埃及人对几何的另一种用法。
坐落在基沙地区的埃及金字塔群是人类史上最伟大最古老的建筑物之一，由其建筑技术上的高超、定位技术的精确，一直以来使世人惊叹不已。你看见过埃及金字塔吗？几百年来，它以宏伟高大的气势，吸引了无数观光旅游的人们。这么高大的金字塔，建造精度如此之高，古埃及人是怎么建成的呢？当科学家破译了古埃及人流传下来的草片上的文字之后，发现古埃及人已经掌握了丰富的几何知识。
有一位研究“埃及金字塔建造史” 的学者葛瑞姆·汉卡克，他提供了一些有关埃及金字塔的非常有趣和有参考价值的数据资料。在平均边长9063英寸的底座上，金字塔四边互相的误差率还不到1%；现代建筑的一大难题“正直角技术”甚至被古建筑大师们游刃有余应用于金字塔的转角建构上。而且达到令人惊讶精密的程度，只有“2秒之微”的误差；
金字塔虽不是建造在正北纬30度线上，却也在非常接近的29度58分51秒，所存在的细微的误差是有意加上去的。假设原始设计者希望以肉眼，而非心眼，从大金字塔的底边看到太空的极点的话，将大气中光线的曲折方式也计算在内后，大金字塔所在的位置一定要在29度58分22秒，而非30 度的位置不可。58分22秒与实际位置所在的58分51秒之间的差距还不到1分的一半，如此高的精密度，再次显示出古埃及人无论在一般测量或地理测量上，技术如何地精湛。
然而，考古学家在观察金字塔时，还有很多更令人震惊的发现。
天文学的“分点岁差”
“分点岁差”具有严谨的、一再重复的数学特质，可以精确地加以分析和预测。然而，若是缺乏精密的仪器，我们就很难观察它，更不用说精确地加以测量了。
古代人何时第一次计算出岁差？这个问题的答案是一个了解人类历史的一大秘密。
根据史书记载，发现“岁差”这个天文现象的是古希腊学者希巴克斯：公元前2世纪，他提出的岁差值为45或46秒（跟现代天文学界接受的数字50.274秒极为接近。但是误差是很小的，原因在于每年改变50．274秒，还不到l度的l／60，因此，春分太阳沿着黄道迁移l度大约需要72年时间，这相当于人的一生。
由于要观察这种极为缓慢的改变，在当时是非常困难的，所以希巴克斯在公元前2世纪提出的岁差值，会被《大英百科全书》推崇为“重大发现”。
隐藏在古埃及的神话中一组关键数字
考古天文学家珍·谢勒斯在他的著作《古埃及神祗之死》中提及，在埃及的欧西里斯神话里可能刻意隐藏着一组关键数字，而这些数字在故事情节上也许是“多余的”，但却能提供我们一套永恒的计算方法。请看这样：
12＝黄道带星座的数目；
30＝沿着黄道，每一个黄道带星座所占的度数；
72＝春分太阳沿着黄道，完成l度的岁差移动所需的时间，即72年；
360＝黄道的总度数；
72×30＝2160（太阳沿着黄道移动30度，穿越过一整个黄道带星座所需的时间，即2160年）；
2160×12（或360×72）＝25920（完成一个岁差周期或“大年”所需的时间，即25920年，也就是“大回转”总共所需的年数）。
还出现了其他数字和数字组合，例如：
36＝春分太阳沿着黄道，完成半度的岁差移动所需的时间，即36年；
4320＝春分太阳完成60度的岁差移动，穿越两个黄道带星座所需的时间，即4320年。
谢勒斯认为这就是一再出现于古代神话和神殿的天文岁差密码的基本成分，这套密码允许人们随意向左或向右移动小数点；人们也可以运用密码中的基本数字，全都与分点岁差率有关，从事几乎任何组合、排列、乘除。密码中最重要的数字是72。古代神话常在这个数字上加36，使成108，然后乘以100，得10800，或除以2，得54，再乘以10，得540（或54000，540000，540000 0等等）。
另一个关键数字是2160（春分太阳穿越一个黄道带星座所需的年数）。古代神话有时将这个数字乘以10或10的因数，得216000，2160000等；有时乘以2 ，变成4320，43200，432000，4320000，无穷无尽。
比希巴克斯更精确：谢勒斯认为，这些数字的演算是被刻意转变成密码，隐藏在欧西里斯神话中，以便将天文岁差信息传达给初入门的人。
葛瑞姆认为这些数字如果真的牵涉到天文岁差，它们在古代出现，委实是不可思议的现象，因为这些数字所包含的科学知识太过先进，并不是古代任何已知的文明能够演算出来的。他也提醒人们不要忘记，包藏这些数字的神话，在古埃及人发明文字之初就已经存在了。从在公元前2450年左右写成的金字塔经文，看到里面就包含有欧西里斯神话的一些成分，而根据上、下文我们可以判断，即使在那个时候，这些成分已经非常古老。
任何金字塔的几何构造都涉及到两个基本要素，一个是金字塔的高度（顶端距离地面的高度）；另一个是金字塔在地面的周长。
以埃及的大金字塔为例，它的高度（481.3949英尺）和周长（3023.16英尺）之间的比率，恰好
等于一个圆圈的半径和圆周之间的比率，即2π。
如果将这座金字塔的高度乘以2π（如同我们根据一个圆圈的半径计算它的圆周），我们就能够精确算出金字塔的周长：481.3949×2×3.14＝3023.1 6。相反地，如果我们将这座金字塔的周长除以2π，也同样可以算出它的高度。3023.16/2/3.14＝481.3949。
这样精确的数学关联，几乎不可能出于单纯的巧合。因此，我们不得不承认，埃及大金字塔的设计师确实了解π的原理，刻意将它的数值应用到金宇塔的营建上。
就如埃及大金字塔在三度空间上的设计，墨西哥太阳金字塔运用的π原理显然并不是单纯的巧合。这两座金字塔在建构上都表现出π的关联，而大西洋两岸其他金字塔却都没有这个特征。此一事实足以证明：在远古时代，这两个地区的人类已经掌握先进的数学知识，而且他们在营建金字塔时，都抱持某种基本的“共同目标”。
我们刚才看到，埃及大金字塔使用的高度／周长比率是2π，而这样的一种比率所要求的坡度是非常特殊、很难处理的52度角。太阳金宇塔的高度／周长比率是4π，也同样要求不寻常的坡度（43.5度）来配合，如果不是为了某种神秘的理由，古埃及和墨西哥建筑师何不选择比较简单的45度角，只须将一个直角切成两半就行了。
究竟是怎样的一种共同目标，使大西洋两岸的建筑师煞费苦心，不惮其烦，将π数值精确地纳入这两座金字塔的建造中呢?金字塔兴建期间，墨西哥和埃及的文明似乎没有任何直接接触，因此我们不得不怀疑，在远古时代，这两个地区曾经从一个共同的根源继承到一些知识观念。埃及大金字塔和墨西哥太阳金字塔所呈现的共同数学观念，可能和“球体”有关，因为这种形体具有三度空间，一如金字塔，而一般的圆只有两度空间。
我们似乎可以这样推论：为了以象征方式将球体表现在三度空间、表面平整的建筑物上，古埃及和墨西哥的建筑师才不惮其烦，把π原理精确地纳入这两座金字塔的设计。此外，这些建筑师的意图似乎不在表现一般的球形，而是呈现一个特殊的球体：地球。
似曾相识的“43200”——再窥神秘
虽然很多传统学者认为在金字塔中π的使用纯属偶然，但连他们也承认有π存在的事实。可是我们能够认真地接受，大金字塔可能是将北半球以l／43200的比例，缩影在平面上吗? 让我们看一下相关的数字。根据最新由人造卫星搜集到的测量值，地球赤道的周长为24902.45英里，至北极的半径为34949.921英里。
大金字塔的周长为3023.16英尺，高度为481.3949英尺。两者之间的比率，经计算以后，虽然不是完全不差，但已非常近似。如果我们考虑地球在赤道（我们的地球为椭圆，而非正圆形）的膨胀情形，那么两者之间的比例似乎就更接近l/43200了。
到底有多接近呢? 如果我们将赤道周长的24902.45英里，除以43200，得到0.5764英里。1英里等于5280英尺。如果将0.5764乘以5280，得到3043.39英尺。就是说地球的赤道缩小43200倍后，为3043.39英尺。而大金字塔的周长为3023 .16英尺。两者之间的“误差”不到20英尺，也就是仅一个百分点的1/3。
金字塔建筑者历来以精确无比的方式在工作，这种误差的产生，应该不是在建造金字塔时发生，而是因低估了我们的地球周长——仅低估了163英里所致。而这种误差可能是未能将赤道凸出部份正确计算在内的结果。（甚至如果那时地球的形状跟今天的有一点差别，又会怎样？）
接着，让我们来检讨一下从北极到赤道的半径3949.921英里。如果我们将它缩小43200倍的话，得到的数值为0.0914英里，就是482.59英尺。而大金字塔的高度为481.3949英尺，两者之间只差不到1英尺，误差率不及1/5百分点。
这种些微的误差放在一边，大金字塔的圆周的确应该为赤道的l/43200缩尺。
同样地，将些微的差距放在一边，大金字塔的高度等于北极到赤道半径长的l/432 00缩尺。换句话说，在西方文明历经地球毫无所知的黑暗时期，只要将大金字塔的周长乘以43200倍，就可得到地球的周长了。
这一切，“偶然”的可能性有多大? 依常识判断，应该“很不可能”。任何一个有理性的人，都应该可以看出来，这些数字只有经过非常仔细的计算与小心的规划才能达成。
在金字塔的设计中的几个关键的指标和数字表明了其实43200这个数字本身就已经是一个证明。不过，古埃及学者向来不将常识认为是应该经常使用的东西，因此，我们必须进一步证明，43200不是一个随便设定，而是在智慧与知识之上，故意选定的一个数值。其实43200这个数字本身就已经是一个证明，因为它不是一个随意的数字（如4500 0、47000或50500、38800之类的)，而是一个连串性数字中的一环，和岁差运动有关系，并与世界各地的古代神话都息息相关。
如前所述金宇塔与地球的比率，在神话中不时可见，有的时候就直接出现43200，但有的时候也会变成432，或43 20，或432000。这似乎反映了两件惊人的事实，而且是两件紧密相关的事，就好像设计来互相补充一般。
葛瑞姆认为。大金字塔为地球北半球的正确缩影，仅这件事就够惊人的了。但更令人吃惊的是，古埃及人所选用的缩尺比例，竟然和掌握地球岁差运动的关键数字有关系。
这是由于地球轴心的两端永远而固定地回旋、描绘圆弧，造成黄道带上春分点的位置，以每72年1度、每2160年30度(一个完整的星座)的弧度移动，每移动两个星座，也就是60度，便需要4320年。
不同的古代神话中，都出现过432这个和岁差运动有关的数字，这本身当然也有可能纯属偶然。从单一事件来看，金字塔与地球的比例1：43200，可能纯属偶然。
当我们在两个非常不同的事物——古代神话与建筑中，都看到这种与岁差运动有关的数字时，便无法也不该再轻言偶然了。大金字塔的建筑从圆周与高度的π关系，引领我们找到了同样与岁差运动有关的43200，进而向北半球的尺寸推理，最后想到缩尺的可能性。
在这里我们得到了一种科学上被证明了可行性的新的测地投影法（其实古人也曾采取过类似的方法测地），简述如下： 原本金字塔的设计，便是要让每个面代表北半球的1/4个曲面，也就是球形1/4 的90度。为将球形的1/4圆正确投影为三角形，1/4的圆弧，也就是底座必须和三角形底边长度完全一样才行。而且，两者也必须等高。而要达到这个目的，将金字塔一分为二的子午线的顶点，和底座的高度，必须呈π的关系的斜面角度……
这些奇妙的数字难道真的是偶然的巧合吗？葛瑞姆认为这个偶然的机率一定比天文数字还要低。
与天文学相关一些数学知识
古埃及人不但能辨识岁差运动，还具有利用神话来讲述、传播它的能力。他们比任何其他古代人
都更了解太阳系的运作，并懂得观测天象。而且如果古埃及人真的具有如此高深的天文知识的话，他们一定非常重视这些知识，并代代相传，使它成为海里欧波里斯的精英祭司所保管的重要秘密之一。这些祭司想必会非常秘密地，以口传的方式，只授予经过严格挑选的同门后人。万一因时势需要，他们必须将这些精奥的知识写进金字塔经文的话，一定会故意将这些知识以引喻、寓言等的方式呈现出来，以保护他们的秘密。难道这是不可能的吗?
早在哥白尼和伽利略出生前好几千年，古埃及人就以地动说解释了太阳系的运动。
要注意的问题是，不论是古埃及人，或继续古埃及文明的希腊人，甚至后来文艺复兴前的欧洲人，都从来没有过这么高深的天文资料。在一般测量或地理测量方面古埃及人的技术之精湛达到甚至令现代人也无法想象的地步。然而，在古埃及文明甚至还没有开化前，经文中便出现了如此这般高深的知识。
关于这一点，应该做何解释呢? 葛瑞姆·汉卡克从很久以前，便开始相信埃及科学能够如此发达、洗练，必定和继承脱不了关系。他看到在悠远的过去，曾经拥有高度技术——的角度去解释这个谜。
古埃及人有一套非常便利的天狼星周期历法概念，他们认定是天神所赐予的。古代埃及历法的周期为1460年，太阳历法的周期则为1461年。这一点更可以佐证上述的观点。
用技术性语言来说，天狼星周期就是“天狼星再度与太阳在同样地方升起的周期”。天狼星在固定的季节中，会自天空中消失，然后，又会在太阳升空天亮之前，从东方的天空升起。就时间而言，这个周期——除去小数点的尾数后——为365.35日。后面的尾数很长，就是太阳历的12分钟而已。
令人感到奇怪的是，在肉眼可观察到的2000颗星星中，精确地以365专日的周期，与太阳一起升起的星星只有一颗，而这便是天狼星“正确的运动”，这颗星球在宇宙中运动的速度，加上岁差运动的结果。同时，古埃及的历法特地将天狼星比太阳先升空的那一天，定为元旦日。而在事前，在金字塔经文编纂的海里欧波里斯，古埃及人便已经计算好元旦日的到来，并通知尼罗河上下所有的神殿。
金字塔经文将天狼星称为“新年之名”。由此而来，我相信天狼星历至少和金字塔经文的历史一样久远。其中最令人不解的谜便是，在这么久远的太古时代，谁能有这么高超的知识技术，能够观察、记录到太阳与天狼星周期之间，非常巧合地差365.25日?
法国数学家史瓦勒·鲁比兹说，天狼星的周期为“完全料想不到的意外天体现象”。
为什么选中天狼星？这是因为在无数的星星中，它是唯一以正确的方向，移动了相应的距离的星球。就是说早在4000年前，人类便已经知道了这个现象。而要能够发现这个现象需要长时间观察天体运动才行。对于发观这种纯属偶然现象的伟大科学家，我们除了敬佩，无话可说。
人们从金字塔经文看到了史前的古埃及人就有长时间正确观测星象，并做成科学性记录的传统，而且在他们的神话中暗含的许多表达岁差运动的数字，不但非常精确，而且一致性高，绝不可能是偶然凑成的。他们在天文学与数学的知识遗产就是以这种方式传承，而金字塔正是当时古埃及人所达到的天文、数学与建筑知识水平的一个永久的证明。
从通气孔到猎户座——波法尔的发现
1993年，又出现了关于古埃及惊人的新发现，一位天文研究很有兴趣的比利时土木工程师罗伯·波法尔发现天空和基沙的金字塔之间很有关系。就是他注意到了另一个惊人的发现。1960年古埃及学家及建筑家亚历山大·拜德威博士和美国的天文学家特林波发现了大金字塔王殿南侧的通气孔，在金字塔时代（公元前2600一公元前2400年）对准着猎户星的三颗星。而这是只注意地面却忽略了天空的古埃及学专家们始料未及的。
由纸草书记录下的埃及数学成就
现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做莱因德纸草书，一卷藏在莫斯科。埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。
原来，在尼罗河三角洲盛产一种和芦苇很相象的水生植物――纸莎草，古埃及人把这种草从纵面剖成小条，连接成片后再压榨筛干，就可以在上面写字了。古埃及人的这些文字因为写在纸莎草上，所以我们称它为“纸草书”。那时埃及人的书写方式是用墨水写在草片上，草片很容易干裂成粉末，所以除了铭刻在石头上的象形文字外，古埃及的文件很少保存下来。古埃及人在数学科学上的工作，我们现在知道得不太多，这与草书不耐保存有很大的关系。
后来，一位法国人弄明白了纸草书上文字的含义，使人们知道，古埃及人已经学会用数学来管理国家和宗教事物，确定付给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，计算建造房屋所需要的砖块数等等，还会计算酿造一定量酒所需的谷物数量呢！用数学语言来说，就是古埃及人已经掌握了加减乘除运算、分数的运算，还解决了一元一次方程和一类相当于二元二次方程组的特殊问题。纸草书上还有关于等差、等比数列的问题。另外，古埃及人计算矩形、三角形和梯形的面积等的结果，和现代的计算值十分相近。比如，他们掌握了计算圆的面积的公式，使用的π＝3.1605，这可是非常了不起的。因为有了这样充足的数学知识，古埃及人建成金字塔就不足为怪了。
古埃及文明的发展是在没有外来势力的影响下独自进行的。埃及人靠着尼罗河带来的肥沃的土壤，创造着自己生生不息的文明和科学。古埃及人造出了几套自己的文字，其中有一套是象形文字，每个文字记号是某件东西的图形，直到公元纪元前后，埃及的象形文字还用在纪念碑文和器皿上。
埃及很早就用十进记数法，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。例如111，象形文字写成三个不同的字符，而不是将1重复三次。埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。
纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。计算的结果相当于用3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。
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