古印度数学史

从大约公元前2500年的印度河谷文明开始，印度就一直是出现历史和哲学重大发展的地方，与这些发展相交织的是多方面的科学和技术活动。古代印度是个信奉佛教的国度，而古印度人对古代数学的贡献，就像佛掌上的明珠那样耀眼和引人注目。 

印度数学的数学发展可以划分为三个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期，史称河谷文化；随后是吠陀时期；其次是悉檀多时期。

印度在数学、物理学和天文学等基础学科领域为人类的科学发展做出过杰出的贡献：十进制的建立和零概念的引入为数学的发展奠定了基础

印度人对纯数学科学的掌握可以回溯到古代。一般都承认，对科学发展有关键意义的“零”的概念是印度对世界的一大贡献，并经由阿拉伯人传到欧洲。在公元850年，最伟大的耆那教数学家 Mahaviracharya 就曾提到过零的重要性。在公元前5世纪，Brahmagupta 成为了第一个解决 Pellian 方程的数学家。一个世纪之后，Aryabhatta在 Gitikapada 时代求出了数学常数π的最精确值。于公元前3或4世纪书写在72张白桦树皮上的 Bakhsali 手稿是一份独一无二的数学教科书，它给出了各种法则、带插图的例子和若干几何、代数及算术问题的解法。在写作于公元前290年的 Kalpasutras 中，Bhadrabahu 证明了毕达哥拉斯定理。

古代印度文明是世界主要文明之一，位于亚洲南部次大陆，包括今天印度河与恒河流域的印度、巴基斯坦、孟加拉、尼泊尔、斯里兰卡、不丹、锡金等国。

印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的达罗毗荼人的哈拉帕青铜文化，大约到了公元前1500年左右，中亚游牧民族雅利安人入侵印度，征服了达罗毗荼人。公元前1400至公元前1000年，雅利安人向东扩张，控制了恒河流域。公元前500年前后，恒河下游的摩揭陀国统一印度北方。大约在公元前7世纪形成了婆罗门教，随后在公元前5-6世纪前后有又出现了佛教和蓍那教。公元前518年波斯帝国侵占印度，使印度成为其一个辖区。公元前327年，马其顿王亚历山大大帝在灭波斯帝国后入侵印度河上游地区，建立莫尔雅帝国，并立即扩张到全印度以及中亚西亚的一些地区。公元前321年旃陀罗笈多（护月王）赶走马其顿人，推翻难陀王朝，建立孔雀王朝，从而再次统一印度北方，恢复到印度人自己的统治时代。除公元前304年的西亚的塞流西（seleucid）王国入侵并很快媾和外，孔雀王朝国势强盛，至阿育王（aaoka,bc268-232年在位）达到极盛。此时东印度河流域在摩揭陀国的难陀王朝统治下基本统一。至公元前187年，孔雀王朝为巽加(sunga)王朝所取代。

公元前165年前后被匈奴人击败西迁的大月氏人，于公元1世纪在中亚建立贵霜帝国，很快占领印度北部的广大地区。公元320年左右，摩揭陀国的另一旃陀罗笈多一世建立笈多王朝(gupta，320-535)统治北印度，印度进入封建社会时代。

从5世纪始，印度文明又不断受到其它民族的侵占，先是5世纪的白匈奴人入侵，继而阿拉伯人于711年攻占印度河下游的信德；到了10世纪，信奉伊斯兰教的突厥人建立的迦色尼王朝和古尔王朝 (阿富汗）先后统治印度，不久印度进入德里苏丹国时期。13、14世纪又遭受蒙古人的侵扰，成吉思汗后裔建立的帖木儿帝国于1398年攻入印度，后于16世纪在印度建立了莫卧儿帝国。18世纪以后，莫卧儿帝国国势危弱，常受波斯、阿富汗等国的侵掠，后来英国人乘虚而入，1757年印度沦为英国殖民地，最终莫卧儿帝国于1857年灭亡。

古代印度数学

印度数学的数学发展可以划分为三个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期，史称河谷文化；随后是吠陀时期；其次是悉檀多时期。由于河谷文化的象形文字至今不能解读，所以对这一时期印度数学的实际情况了解得很少。

印度数学最早有文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教和印度教的经典《吠陀》当中，年代很不确定，今人所考定的年代出入很大，其年代最早可上溯到公元前10世纪，最晚至公元前3世纪。吠陀即梵文veda，原意为知识、光明，《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上。不同流派的《吠陀》大都失传，目前流传下来仅有7种，这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》（sulva sūtrus,又译成绳法经），有一些几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了圆周率的以下近似值：，此外还用到  = 3.004和 = 4 (8÷9)2 = 3.16049的近似值。在关于正方形祭坛的计算中取2 = 1 + 1/3 + 1/ (3×4) －1/ (3×4×34) = 1.414215686

由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程问题，印度用算术方法给出求解公式。耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成，流传下来的原始经典较少，不过流传一些公元前5世纪至公元后2世纪的注释。其中出现了许多计算公式，如圆周长的计算公式等。

关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学，可考资料非常少，值得庆幸的是1881年在今天的巴基斯坦西北地区发现了这一时期的，书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利（bakhshali）手稿”。 其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程。特别值得注意的是该书使用了一些数学符号，如减号，将“12 － 7” 记成“12 7＋”，出现了10个完整的十进制数码，用点表示“0”.

数字及数字系统　 

在公元200年到1200年之间，古印度人就知道了数字符号和0符号的应用，

零当作一个数字

可以确定的是在公元六百五十年左右印度的数学家使用零当作一个数字。印度人也使用位值系统而将零当作空白位置的表示符号。今日我们所使用的高度发展的数系是从印度的数字及数字系统逐步演进而来的。

公元前2500年左右,印度最古老的文献已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示空的位置。约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达首先说明了0的性质，任何数乘0是0，任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，O的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。

婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》（628）和《肯德卡迪亚格》（约665），都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵。他把0作为一个数来处理，9世纪马哈维拉和施里德哈勒接受了这一传统。婆罗摩笈多对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则。他曾利用色彩名称来作为未知数的符号，并给出二次方程的求根公式。

7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣。如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生的改变。马哈维拉的《计算方法纲要》可以说是一部系统的数学专著，全书有九个部分：（1）算术术语，（2）算术运算，（3）分数运算，（4）各种计算问题，(5)三率法（即比例）问题，(6)混合运算，(7)面积计算，(8)土方工程计算，(9)测影计算。基本是对以往数学内容的总结和推广，书中给出了一般性的组合公式，而且给出椭圆周长近似公式。

公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。 

引进十进制的数字

这些符号在某些情况下和现在的数字很相近。此后，印度数学引进十进制的数字，同样的数字在不同的位置表示完全不同的含义，这样就大大简化了数的运算，并使计数法更加明确。比如，古巴比伦的记号▼既可以表示1，也可以表示1/60， 而在古印度人那里，符号1只能表示1个单位，要表示十、百等，必须在符号1的后面加上相应个数的符号0。这实在是个了不起的发明，以致于到了现代，人们在计数的时候依然沿用这种方法。

负数
　　古印度人很早就会用负数表示欠债和反方向运动。他们还接受了无理数的概念，在实际计算的时候，把适用于有理数的计算方法和步骤运用到无理数中去。另外，他们还解出了一次方程和二次方程。 

一次方程和二次方程 

从公元七世纪印度的代数有了很大发展, 数学家婆罗摩笈多创立表示量的概念和描述运算的一套符号，12世纪婆什迦罗提出负平方根的概念、研究无理方程的解法和无理数的运算法则，把代数学的研究推向了新的阶段。

三角学

    　印度数学在几何方面没有取得大的进展，但古印度人对三角学贡献很大。这是他们热衷于研究天文学的副产品。如在他们的计算中，用到了三种量——一种相当于现代的正弦，一种相当于现代的余弦，还有一种称为“正矢”，在数量上等于1－cosα，这个三角量现在已经不用了。他们还知道一些三角量之间的关系， 比如“同角正弦和余弦的平方和等于1”等等，古印度人还会利用半角表达式计算某些特殊角的三角值。

由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特色。与其算术和代数相比，印度人在几何方面的工作显得十分薄弱，最具特色与影响的成就是其不定分析和对希腊三角术的推进。