有很长一段时间，大约是几百年，人们对“零”意义和作用的认识是有些模糊的。其实这也很好理解，因为“零”的意思不像其他的数字那么直观。设想在古时候，如打猎打到一头野猪，两只野兔和三只野鸡，这个数量都是可以一个一个数出来的，人们就是借助实际的物体的数量来认识这些数字的。当时人们并没有考虑用什么东西代表“没有”这种情形。到后来在数量增大到一定程度的时候，有了“进位”问题的时候，人们才用一个圆形圈或方形的口的符号来代表空位，但它只是被当作一个特殊的对象来看待，它并不能参与运算，所以在一个相当长的时间里，人们都没有给“零”一个合法的数字身份。

今天人们能够很容易地理解“有几个”与“一个都没有”只是在数量的多少上有区别，还有在除法运算中“零”不能做分母,除此之外，它其他九个数字的地位都是一样的，一样可以参与数学的运算。尽管古希腊毕达哥拉斯学派的数学家很早就对“数”性质和关系有很多的研究，如奇数、偶数、完美数，亲和数等，但是他们对零并没有给予太多的关注。希腊哲学家亚里士多德认为，“零”是非法的，它破坏了一致性，把“零”当作一个普通的数会导致不可理解的结果。他当时可能是没有办法来解决，“零”作为分母时，怎么解释它的意义和定义它的结果。这样一个对现代人来说是微不足道的问题，然而在古代有好几百年都一直无法取得突破。

“零”的意义

恩格斯曾说过：“零是任何一个确定的量的否定，所以不是没有内容的。相反地，零是具有非常确定的内容的。……零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被它所限定的数都更重要，事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容。”

在数学发展过程中，“零”在不同的情况下有多种含义。

1  表示“空位”的零，在位值制记数法中，零作为填补空位的符号。单独一个空位零不具有任何数量意义，必须依附于另一个非零数码，才能表达数量。早期巴比伦楔形文书和宋元以前的中国筹算记数法，都留出空位表示零，只是没有符号。

2  表示“没有”的零——数量零（或绝对零、“整数零”），零在任何计量单位中表示“没有”、“无”。

3  分析学家眼中的极限零，就像惠施说的：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”的含义。 华罗庚说：“当n大时，虽小，但并不是零，这就是万年不竭的道理。”实际上，分析学家运用求极限的方法得到的极限零是一个无穷小量。

“零”的表示

“零”作为记数法中的“空位”，在位值制记数方式的文明中不可缺少，只不过各种文明采取不同的方式，大部分文明没有引入数码而以空位表示。公元前3世纪，巴比伦人曾引进专门记号表示空位，宋元以前的中国筹码记数等，印度人和玛雅人采用了符号，玛雅20进位制中的零用有像眼睛或贝壳的符号表示。但他们的表示方法并不完善。

“零”最初是用空格口表示，后用点●表示，而用圆圈符号“0”表示“零”也是印度人的一项伟大发明，它最早出现于9世纪，人们在一个叫“瓜廖尔”的地方的一块石碑上发现了它。

实际上，人们在对于“零”的意义和作用的认识花了更长的时间，因此迟到的“0”，并非是“零”的概念和意义不存在，而是对它一直没有完整和清晰的认识。

下面我们来看人们是经历了一个怎样漫长的过程才认识“零”的。

“零”的认识过程　

▲ 公元前3000年，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。

▲ 公元前2500年左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时它表示空的位置。

▲ 公元前七、八世纪，印度人就普遍使用十进位值制记数法，婆罗米文字中出现过九个数码，梵文中都出现过，一种流行的观点是认为印度人以零表示“无”概念与佛教的“空”（梵文）有关，但这种说法没有明确的根据，只不过这种意义的确是较早地出现于印度文明中。

▲据史料记载，托勒密在公元一百三十年左右时使用巴比伦人的六十进制系统连同表示空白位置的符号O。这个期间托勒密在数字间及数字尾端使用这个符号。这时把零看作空位置的思想基本上是确立了。在这个时候，人们看到的O，它代表的是空位。 

▲  事实上有证据显示在公元二百年的印度就有位置数字系统的空白位置表示符号的使用了，但是一些历史家将它们视为伪造而不去注意到它们。 　 

▲ 到公元前三世纪，印度出现了整套的数字，但在各地区的写法并不完全一致，其中最有代表性的是婆罗门式：这一组数字在当时是比较常用的。它的特点是从“1”到“9”每个数都有专字。现代数字就是由这一组数字演化而来。在这一组数字中，还没有出现“0”（零）的符号。

关于公元前二世纪至公元后三世纪的印度数学，可考证的资料非常少，但值得庆幸的是1881年在今天的巴基斯坦西北地区发现了这一时期的，书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利（bakhshali）手稿”。 特别值得注意的是该书使用了一些数学符号，出现了10个完整的十进制数码，用点●表示“零”。

▲ “0”这个数字是到了笈多王朝（公元320—550年）时期才出现的。在公元四世纪完成的数学著作《太阳手册》中，已使用“0”的符号，当时只是实心小圆点“ ●”。 这样一套从“0”到“9”的数字就趋于完善了。这是古代印度人民对世界文化的巨大贡献。

▲ 公元550年印度天文学家瓦拉哈米希拉论述了0的加减运算。

▲ 公元628年婆罗摩笈多在《宇宙开端》中写道：“负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零什么也没有……”，但是仍然没有把零当作与其他数字一样看待。

▲ 可以确定的是在公元650年左右，印度的数学家就把“零”当作一个数字了。

▲ 公元773年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，这样就将印度数字传入了阿拉伯，后来又传至欧洲。欧洲人接受了它，由于是从阿拉伯传入欧洲的，所以称之为阿拉伯数字，成为国际通用的数字系统。

▲ 用圆圈符号“0”表示“零”也是印度人的一项伟大发明，目前掌握的最早的证据是公元876年，“0”出现在一个叫瓜廖尔的地方的一块石碑上。

▲ 大约在11世纪，有十个数字的完整印度数字系统趋于成熟。印度人不仅把“0”看作是记数法中的空位，而且也把它看成是可参与运算的一个特殊的数。

印度人是比较早从他们的 “无” 与学的“空”，来感知“零”的。我们看到 从仅仅表示有无和空位到把看成一个与其他数字一样可以参与运算的数，大约是经过了几百年，跨出这一步是多么的艰难。

▲ 印度人的概念向东延伸到了中国，在公元1247年中国数学家秦九韶所写的数学专论中就使用了O 这个符号来代表零。

▲  公元1202年斐波那契在《算盘书》中，正式介绍，“这是印度的九个数码：987654321， 加上阿拉伯人称之为“零” 的符号“0”，任何数都能够表示出来。”

 斐波那契是最早将有关数字系统的新观念带进欧洲的重要人物，但是斐波那契并不能勇敢地把零看成是与其它九个数字一样的数，证据是他只是把“零”读做“符号”零，却不是叫做“数字”零。因此尽管将印度数字介绍给欧洲人是斐波那契为数学的发展作出的最重要的贡献，但是他对零的认识还没有达到印度数学家和阿拉伯数学家们那样清晰的程度，特别是对“零”是数字这个事实，他还是有些犹豫的。 

如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“零”。其实在公元5世纪时，“0”已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用“0”。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶刑，使他再也不能握笔写字。

实际上，用“零”代表“没有”和“零”的概念一直存在着，同时用“零”表示空位的方法也是长期一直都在使用，但是把“没有”，“空、占位”和无穷小量等多个意义集成在一起，赋予“零”一个比较完整的意义，这是一直到公元1600年前后才实现的，人们到那时才对“零”有了比较清晰的认识，我们看到认识零的过程前后大约经历了数千年时间。

大家都知道数学具有抽象性的特点，而从人们认识“零”的过程，你会发现其实完成“零”这个概念的抽象，其实是经过多么漫长的过程，并不像想象中那么的简单。我们现在无法想象没有“零”的时候，对许多的数学研究有多么的不方便。卡丹在没有使用到零的情形下，解决了三次及四次的方程式。如果他那个时候就有“零”的话，他会比较容易的发现和解决这些问题。

回过头来看，我们可以说，首先把“零”看成是一个数字，而不是一个特殊的符号，使它能够参与运算，就是一个非常重大的进步；其次“零”与负数以及无穷小量的思想引入，在数学史上都是非常重大的思想突破。

法国著名数学家拉普拉斯曾经写道：“用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。”

专门研究数论的数学大师哈代有一次到印度去领一个奖，他被邀请在会上发表演说。他上台第一句话说：“印度对人类的贡献是‘零’。” 这时全场鸦雀无声，人们在愣了三秒钟之后才反映过来，然后全场哄堂大笑。数学大师用最简单的一句话，将“印度人对数学所做的重要贡献”高度概括出来，真是让人佩服和倾倒。陈之藩先生盛赞哈代说：“这是几百年才可能培养出来的花朵。”

“零”这个数字真的是印度人对数学的一个大贡献。没有“零”，不仅是数字系统不完整，还有许多数学概念的发展就会遇到很大困难，知识系统的形成就会有很大的不同。“零”这个概念实在是太重要了，因此人们对“零”有了比较清楚的认识被看作是在数学发展史上取得的重要进展。在我国古代“零”叫做金元数字,意即极为珍贵的数字。

关于零的历史，有两本书《从零开始》和《零的故事》是专门讲述这个专题的，从巴比伦开始，经过希腊、印度、阿拉伯、中世纪、科学时代，一直讲到二十世纪，里面有许多的关于零的有趣的故事。你如果有兴趣，可以读一读。