哈密顿在物理学和数学领域里都有杰出的成就，他是一位勤奋工作而酷爱真理的人。他和妻子在一起散步的桥头，已经有一个纪念碑。

四元数是由哈密尔顿在 1843年爱尔兰发现的。爱尔兰有一个很多人熟悉的英雄，威廉.华莱士。在电影《勇敢的心》中，有一柄长剑，叮地插在大地之上，长剑在风中微颤，你仿佛听见爱尔兰的英雄在高呼：自由！在通往数学的自由或者奴役的道路之上，哈密顿的四元数是一个丰碑。从物理学上讲，它就是泡利矩阵，有了泡利矩阵，就有了2分量旋量。所以天才总是相互感应，而有了泡利矩阵，才有了扭量，这亦是自然的事情。 

两个四元数相等的准则是系数a、b、c、d都对应相等。

两个四元数相加只要将对应系数分别相加形成新的系数，这样和本身也是一个四元数。为了定义乘法，哈密尔顿不得不规定i与j，i与k及j与k的乘积。为了保证乘积是一四元数，并且尽可能多地保留实数和复数的特点，他约定：jk=i，kj=－i，ki=j，ik=－j，ij=k，ji=－k，这些约定意味着乘法是不可能交换的。这样若p和q为四元数，则pq不等于qp。一个四元数被另一个四元数除也是可以做的，然而，乘法的不可交换性蕴含了用四元数q去除四元数p时，可以意味着找到r，使得p=qr或p=rq，商r在两种情形下可能不等。尽管四元数并没有像哈密尔顿希望的那样有广泛的使用价值，他还是能用它们来解决大量的物理和几何问题。

四元数的引入给了数学家们又一次震动。它是一个确确实实有实际用途的代数，却不具备所有实数和复数都具备的基本性质，即 ab=ba。

哈密尔顿发明四元数后不久，从事其他领域研究的数学家们引入了更奇怪的代数。著名代数几何学家凯莱引进了矩阵，它是矩形或正方形数组。对它们也可进行通常的代数运算。但是如同在四元数中的情形一样，它也没有乘法可交换性。而且即使两个矩阵都不为0，它们的积也可能为0。四元数和矩阵只不过是许多性质越来越奇怪的代数的先驱。格拉斯曼发明了许多这样的代数。它们甚至比哈密尔顿的四元数还要一般化。不幸，格拉斯曼只是个中学教师，因此过了许多年他的工作才获得了应有的注意。无论怎样，格拉斯曼工作增添了现在称为超复数的新代数中的多样性。

为了特别的目的而创建的这些新代数本身并没有向普通的算术及其扩展在代数和分析中的真理提出挑战。毕竟，一般的实数和复数可用于完全不同的目的，它们的实用性是无可质疑的。也许真理本质上就是难以捉摸的，或者如罗马哲学家塞涅卡所说：“自然界不会一下子披露她所有的秘密。”

如果几个力作用于一个物体，则这些力及其向量表示不一定通常也不会总在同一平面上。如果为了方便起见将通常实数称为一维数，复数为二维数，那么，要用什么来表示空间中某种三维数的向量及其代数运算呢？人们希望对这种三维数进行的运算，类似于复数的情况，将必须包括加、减、乘、除，而且必须满足通常实数和复数所具有的那些性质。这样代数运算才能自由且有效地使用。于是，数学家们开始寻找一种称为三维复数及其代数的数。

有许多数学家从事了这一问题的研究。1843年，哈密尔顿提出了一个有用的复数的空间类似物，哈密尔顿为此困惑了15年。那时数学家们所知道的所有的数都具有乘法的交换性，即ab=ba，因此哈密尔顿很自然地相信他所找的三维数或三元数，也应该具有这一性质以及其他实数和复数具有的性质。哈密尔顿终于成功了，不过他被迫作出两点让步。首先，他的新数包含四个分量，其次，他不得不牺牲了乘法交换律。这两个特点对代数学来说都是革命性的，他把这种新的数叫做四元数。

a+bi+cj+dk    i2=j2=k2=－1  两个四元数相等的准则是系数a、b、c、d都对应相等。

当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数。根据哈密尔顿记述，他是于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河散步,突然灵感扑面而来,他在桥上写下乘法表: i2＝j2＝k2＝-1，i·j＝k，k·i＝j，j·k＝i；j·i＝-k；i·k＝-j，k·j＝-i。

这是一个普通的桥,它以前的名字叫布鲁穆桥（现称为金雀花桥 Broom Bridge）。 
哈密顿创造了把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个标量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。

根据上述乘法表，四元数显然是复数的扩充，它将复数作为特殊形式包含在自身之中，它属于超复数。但这种数对乘法的交换律不再成立，哈密顿为此考虑了十几年，最后直觉地想到：必须牺牲交换律，于是第一个非交换律的代数诞生了，在以前的乘法中，乘法是交换的，比如从小学数学开始,没有人告诉你为什么1x2=2x1，但这背后其实埋藏无穷秘密。

哈密顿的这个创造，把代数学从传统的实数算术的束缚中解放出来，人们开始认识到数学既可来自现实世界的直接抽象也可以来自人类的思维的自由创造，这种思想引起了代数学领域的一次质的飞跃，现代抽象代数的闸门被打开了。只有在4维欧空间之上，唐纳森发现了无穷多微分结构。loop量子引力被人诟病，因为她不能回答为什么时空是4维的，但上帝用数学来回答。

在19世纪到20世纪，哈密顿之后，物理学家洛仑次写了厚厚的《电子论》，Lorentz的《The Theory of Electrons》总共三百多页，当时还没有发现电子。这是历史上一个伟大的事情，虽然洛仑次不是最出色的，但人们应该注意到，在洛仑次力公式 f=qE+vX B 出现了点乘与叉乘。

这个是一个经典电动力学里的假设,但可以相信，这个假设说明，在四元数中,结合方法必须既有点乘又有叉乘，这个假设是实验证实的，所以洛仑次是伟大的。

电磁理论与四元数的结合是自然的，天然的，同时是微妙的。因为电磁场在四维时空才是天然的。