通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。

欧拉与拓扑学

第一个拓扑问题是欧拉在1736 年解决的哥尼斯堡的七桥问题。 哥尼斯堡是东普鲁士的首府，这座历史名城产生过大哲学家康德和大数学家希尔伯特。普雷格尔河横贯哥尼斯堡城中，其中有七座桥。

尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。

问题是，我们能否散步经过每一座桥，而且只经过一次，欧拉证明这不可能。

1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。

在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。

欧拉的数学才能表现在他把这问题化成图的形式，然后证明不存在一笔画法把这图画出。

如果经过这七座桥所有可能路线都试一下的话共有5040 种路线，如果每一条路线都试一下证明行不通的话，显然既费时日，也太盲目了。欧拉作为一个数学家，在这里显示出他的威力。欧拉没有到过哥尼斯堡，更不去盲目地乱试，他只是把问题简化，去掉不必要的因素，例如桥的长度，然后把用河隔开的四块区域缩成四个点，这样七桥就变成4 个点间、7 条连线组成的图，而七桥问题就变成这个图能否一笔画成。

那么一个图能否一笔画成，依赖于点和线的数目。连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图一笔画成，奇点的数目不是0 个就是2 个，否则不能一笔画成。现在看欧拉的七桥简图，4 个点均为奇点，因此，七桥问题找不到一个肯定的路线。

根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。” 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。