傅立叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。”它已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。付里叶也很重视数学物理等应用数学的发展，他很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，付里叶级数拓广了函数概念 ，从而极大地推动了函数论的研究，1801年付里叶回法国，担任过伊泽尔地区的行政长官。当然他还一之坚持热学研究。

提交论文遭拒绝，继续研究修改成正果“付里叶级数和付里叶积分”

傅立叶的主要贡献是他在研究热传导问题时创立了一套数学理论。早在1807年傅立叶就写成了一篇关于热传导问题的论文，他在向法国科学院呈交的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。傅立叶的创造性工作是他推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法——傅立叶级数法，从而极大地推动了微分方程理论的发展。

这篇论文经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。不过他们还是鼓励他继续钻研并发展自己的思想。

1811年傅立叶又提交了他修改后的论文，在里面提出了傅立叶级数和傅立叶积分的创新思想和方法，因而这篇关于热传导问题论文获得了1812年科学院大奖，但是这篇论文因为在论证方面仍然缺乏严密性而未能在科学院的院刊《科学院报告》上正式发表。

1822年傅立叶出版了他的专著《热的解析理论》，他在书中解 决了热在非均匀加热的 固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。书中包括了他处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分的数学思想和数学成就。《热的解析理论》已成为数学史上一部经典性的文献，他的学生以后把它们称为傅立叶级数和傅立叶积分，这个名称一直沿用至今。在书中傅立叶断言：“任意”函数（实际上要满足一定的条件，例如分段单调）都可以展开成三角级数，他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，勒让德等著名数学家审查，但是没有给出明确的条件和完整的证明。

傅立叶在《热的解析理论》中提出的三角级数（即傅立叶级数）、傅立叶分析等理论，将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅立叶的名字命名。傅立叶应用三角级数求解热传导方程，同时为了处理无穷区域的热传导问题又导出了现在所称的“傅立叶积分”，这一切都极大地推动了偏微分方程边值问题的研究。

然而傅立叶的工作意义远不止此，它迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。因此，《热的解析理论》影响了整个19世纪分析严格化的进程。此外傅立叶在数学领域的贡献还有，他是最早使用定积分符号的，他还改进了代数方 程符号法则的证法和实根个数 的判别法等。 其影响还扩及纯粹数学的其他领域。 

由于傅立叶在数学和物理学方面取得了一系列重要的研究成果，1817年他被选为科学院院士，并于1822年成为科学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学院院士。1830年5月16日卒于巴黎由于对热传导理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科学院终身秘书。后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。