朋友的观察和回忆

据我所知，迄今为止还没有任何一个科学，或其他领域的创造性活动像他们这么成功。他们合作发表了近一百篇文章，很多都是"布拉德曼级）“（Bradman class）”的 。

对于整整一代人来说，哈代－李特伍德主宰了英国的纯数学，也在很大程度上上宰了世界的纯数学。数学家们告诉我，他们在多大程度上改变了数学分析的发展进程现在还很难说，也很难预料在今后的l00年中他们的合作有多大的影响，但其不朽的价值是毫无疑问的。 

正如我前面所说的，他们的合作一直是最伟大的，但是没有人知道他们是如何合作的，除非李特伍德告诉我们，否则无人会知晓。我已经提到过哈代对李特伍德的评价：他是两个合作者中能力更强的一个。哈代曾经写道，他知道“没有其他人能够拥有这样的心灵、技术和才智的合作”。李特伍德一直是一个比哈代更平常的人，他与哈代一样风趣，但似乎比哈代社会经验更丰富一些，他从不像哈代那样擅长于精妙的学术宣传，所以很少在学术圈的中心出现。这导致欧洲数学家们开玩笑说，哈代创造了李特伍德，以便在他们的某一定理证明有误时替哈代受过。实际上，李特伍德的个性至少与哈代一样倔强。

从表面上看，他们两人都不像是容易合作的伙伴，很难想象最初是谁先提出合作建议的。当然他们当中必定有一人先提出来，但没有人能够看出他们是如何安排的。他们合作的大部分时间并不在同一大学，据报道，哈拉尔德·玻尔(Harald Bohr)(尼尔斯·玻尔的弟弟，他本人是一个优秀的数学家)曾说他们合作的一个原则是：如果一人写信给另一人，收信人没有任何义务回复，甚至可以拒不拆信。

对此我无法作任何评论。多年来，哈代与我的谈话涉及到几乎所有能想象得到的方面，除了合作。当然，他曾经说这是他的创造生涯中很幸运的事情，他提起李特伍德时用词与我前面所描述的一样，但他从不暗示他们的合作细节。我对数学懂得不多，无法理解他们的文章，但我学会了他们的一些语言。如果他无意中说出了任何有关他们合作的方法，我想我绝不会漏掉它们。C·P·斯诺博士 

三十五年的合作与友谊

哈代比李特伍德大8岁，他俩相识于1904年，当时李特伍德还是三一学院的学生，哈代曾为他的分析学老师担任过助教。1907年李特伍德毕业后到曼彻斯特大学任教，1910年又回到剑桥，接替了数学家阿尔弗雷德·怀特海的职位。此后的一年中，哈代写了多篇有关级数收敛和求积分的论文，渐渐在分析学方面有了名气；李特伍德则证明了级数理论中一条著名的定理，感到自己对数学的判断力和鉴赏力已基本成熟。共同的兴趣和扎实的功底将他们联系在一起，1911年他俩开始了长达35年之久的合作研究。

合作的成果

其实在这30多年里，哈代有近20年的时间是与李特伍德在不同的地方度过的：1914到1918年，李特伍德按照法律规定到皇家炮兵部队服役了4年，而1919年哈代又离开牛津去剑桥大学任职，直到1931年才回来。然而他俩的合作不仅没有因此中断过，而且成果极其丰富。早期的合作涉及丢番图逼近及其在函数论中的应用、级数的可和性等。哈代去剑桥后，他们又围绕整数分拆和傅里叶级数的收敛性与可和性发表了大量著作。“哈代—李特伍德极大函数”、“哈代—李特伍德圆法”和“哈代—李特伍德定理”等等以他俩的名字共同命名的数学成果都是这种密切合作的标志。这些重要成就也使得他们共同建立起世界著名的剑桥分析学派，重振了英国数学的雄风。

35年里， 哈代与李特伍德联名发表的论文共有100篇，占哈代论文总数的近1／3，而在李特伍德的全部文章中则占了一半的比例。从这一点也足以看出合作对于双方的重要意义。

独立的思考与优势互补的典范

哈代——李特伍德他们是怎样进行合作的呢？这对大多数人来说似乎是一个秘密，人们都非常感兴趣，很想知道他们是如何合作的？从专栏记者的采访中，我们了解到真相。

原来，通信是他们交流数学思想和研究成果所采用的独特方法。如果对某个课题有了心得体会或者找到了解决办法，或是在思考旧问题的过程中又产生了新问题，他们都会寄邮件告诉对方。而且他们达成了一种默契：当一方收到另一方的信件时，如果读到新的问题，那么收信人先不去看对方的解答，而是自己独立想办法去解决，直到取得完全一致的意见为止。

然后他们就开始把相应的结果撰写成论文。先由李特伍德搭好论文的基本框架，用哈代所熟悉的符号表达出结果，然后再由哈代来定稿，以他特有的文笔和写作风格补充完善为一篇形式优美、内容严谨而充实的数学研究论文。难怪不明真相的人曾认为，李特伍德不过是哈代所虚构的人物，并无真人存在。哈代返回剑桥之后，他们也一直保持着这种合作方式。

我们看到，在他们合作的过程中，他们两个人的长处得到了充分的发挥，在问题的研究和结果的表达方面都是取了两个人最大的值。这也是非常具有参考的价值的经验。

学生的回忆与评价

 “哈代对于一个雄心勃勃的年轻数学家来说，是一个理想的导师和榜样……听他的课对我来说是件乐事，我以往在高等数学的探索中始终不能完全满意……可是哈代却那样清晰、那样细致地引导我彻底掌握高等数学的复杂逻辑。当我遇到困难时，他就使之迎刃而解，并让我真正认识到，对数学证明来说什么是必需的。”

这是控制理论的创始人、美国著名数学家诺伯特·维纳在他的回忆录中写的一段话，这时候距离他1913年前往剑桥大学进修已经过去了40多年，但记忆最深的仍是哈代对他的无私指导以及后来一如既往对他数学研究事业上的鼓励。