1904年，外尔从这所中学毕业。当时的校长是德国大数学家D.希尔伯特(Hilbert)的表兄弟，遂将外尔介绍到希尔伯特所在的格丁根大学攻读数学。从此，外尔踏上了数学之路，并成为日后希尔伯特的继承人。

　　在格丁根的第一年，外尔读了许多课程。其中包括希尔伯特的课“化圆为方与数的理论”。新世界的门向他打开了。1905年夏天，外尔带着希尔伯特的辉煌作品“数论报告”(Der Zahlbericht)回家去。他回忆说：“整个暑假我在没有初等数论和E．伽罗瓦(Galois)理论这些准备知识的情况下，自己尽力搞懂它。这几个月是我一生中最快乐的几个月，经历了我们共同分担的疑虑和失败的许多岁月之后，它的光辉仍抚慰着我的心灵。”外尔曾这样描述希尔伯特对青年人的影响：“他所吹奏的甜蜜的芦笛声，诱惑了许多老鼠追随他跳入数学的深河”。外尔自己就是这些“老鼠”中的一个。

　　在格丁根读了一年书之后，外尔按惯例要到另一所大学求学一年。他到了慕尼黑大学。1906年重返格丁根。1907年，外尔投入积分方程的研究。一年之后，以“奇异积分方程”(Equtionsintégrales singwlières)的论文获得博士学位。他在格丁根一直呆到1913年。1910年起任无薪讲师(privatdozent)，在讲授函数论等课程的同时，他开拓了新领域“黎曼面”。

　　1913年，外尔和J．海伦(Joseph Helen)结婚。海伦是格丁根大学哲学系的著名才女。他们有两个儿子。其中J．外尔也是数学家。父子曾合著《亚纯函数和解析曲线》(1943)。就在结婚的同一年，外尔受聘为位于苏黎世城的瑞士联邦工学院的教授。这时，大物理学家A．爱因斯坦(Einstein)也在那里执教，他们经常交谈。爱因斯坦的物理学新思想给外尔留下了深刻的印象。

　　1915年，正值第一次世界大战，外尔服了一年兵役。1916年重返苏黎世。此后的十余年，是外尔数学创造的全盛时期。外尔在苏黎世的生活是幸福的；他曾说，那时打扰他平静生活的最糟糕的事是外国大学请他去执教的一连串邀请。但是在内心深处，外尔仍然向往格丁根大学，希望回到希尔伯特身边。因为他的“根”在那里，他要到那里摄取营养，获得新的动力。

1923年，格丁根大学邀他回去接替退休的F．克莱因(klein)。当时德国政治形势动荡，经济一团糟。外尔踌躇再三，拿着“接受邀请”的电文到电报局，可到了拍发时，又改变了主意，辞谢了邀请。1930年夏天，格丁根大学又邀他回去接替希尔伯特。尽管这时德国政治、经济形势仍然不好，但外尔终于接受了邀请。他写信给老师：“应召作为你的继任，我内心的欣喜和自豪是无法用言词来形容的”。

　　但是外尔在格丁根没有呆很长时间。30年代的德国，法西斯的浊流在到处蠢动，排犹的风潮越演越烈。外尔本人虽不是犹太人，可是他的妻子海伦是半个犹太人。1933年1月，希特勒上台，局势极度动荡，大批犹太科学家离开德国。作为格丁根大学数学研究所的领导人，整个春天和夏天，外尔写信，去会见政府官员，但什么也改变不了。夏日将尽，人亦如云散。外尔去瑞士度假，仍想回德国，希望通过自己的努力来保住格丁根的数学传统。可是美国的朋友极力劝他赶快离开德国：“再不走就太晚了！”美国普林斯顿高级研究院为他提供了一个职位。早在那里的爱因斯坦说服了外尔。从此，他和海伦在大西洋彼岸渡过了后半生。

到普林斯顿时，外尔已经48岁，数学家的创造黄金时期已经过去。于是他从“首席小提琴手”转到“指挥”的位置上。他象磁石一样吸引大批数学家来到普林斯顿，用他渊博的知识、深邃的才智给年轻人指引前进的方向。普林斯顿取代格丁根成为世界数学中心，外尔的作用显然是举足轻重的。无数的年轻人怀念外尔对他们的帮助，用最美好的语言颂扬他的为人，其中有一个是中国学者陈省身。

1985年，陈省身回忆他和外尔的交往时写道：“我1943年秋由昆明去美国普林斯顿，初次会到外尔。他当然知道我的名字和我的一些工作。我对他是十分崇拜的。……外尔很看重我的工作，他看了我关于高斯(Gauss)-博内(Bonnet)公式的初稿，曾向我道喜。我们有很多的来往，有多次的长谈，开拓了我对数学的看法。历史上是否会再有象外尔这样广博精深的数学家，将是一个有趣的问题。”

　　外尔在美国也继续做一些研究工作。他写的《典型群，其不变式及其表示》 (The classical group，their invariants and repre-sentations，1939)以及《代数数论》(Algebraic theory of numbers，1940)使希尔伯特的不变式理论和数论报告在美国生根开花。他的“半个世纪的数学”(A half-century of mathematics，1951)更成为20世纪上半叶数学的最好总结。他还在凸多面体的刚性和变形(1935)、n维旋量黎曼矩阵、平均运动(1938—1939)、亚纯曲线(1938)、边界层问题(1942)等方面作出贡献。

　　外尔的妻子于1948年逝世。1950年，他又和B．爱伦(Ellen)结婚。外尔在1951年退休，但他在普林斯顿的职位仍然保留着。以后他在普林斯顿和苏黎世两地居住。

1954年，外尔在第十二届国际数学家大会上讲话，介绍菲尔兹奖获得者小平邦彦(小平邦彦，Kodaira Kunihiko)和J．P．塞尔的工作。第二年，70寿辰的祝寿活动之后不到一个月，外尔在邮局寄信时突然心脏病发作，于1955年12月8日与世长辞。

外尔的著作生前出版过选集。1968年，施普林格(Springer)出版社发行外尔的《论文全集》，(Gesammelte abhandlungen)，包括166篇文章，但不包括他的十几本书。

外尔一生的科学工作，可以分为四个时期：格丁根时期(1904—1913)；苏黎世时期(1913—1930)；第二格丁根时期(1930—1933)；普林斯顿时期(1933—1955)。他的数学工作几乎遍及整个数学。其中包括奇异积分方程、微分方程、数学物理方法、希尔伯特空间、狄利克雷原理、模1分布、概周期函数、亚纯曲线变分学等分析课题，凸体的表面的刚性、拓扑学、微分几何中的联络、黎曼面等几何课题，李群的不变量、李群的表示、代数理论、逻辑等代数课题，以及相对论、量子论、哲学、科学史等课题。他的许多工作成为20世纪一系列重要数学成就的出发点。外尔的研究足迹紧紧追随着整个科学的进展，从广义相对论到量子力学，一直在科学的前沿上弄潮。许多人认为，时至今日，通晓整个数学的数学家似乎已经没有了。外尔也许是能做到这一点的最后一人。

　　外尔在格丁根时期的初期研究工作，可以说完全在希尔伯特的影响下进行。他在格丁根的博士论文题目正是希尔伯特当时钟爱的研究课题：积分方程。
　　1910年，外尔在为获得无薪讲师职位发表就职演讲时，作出了他在数学上第一个重要工作：二阶线性微分方程的奇异边界条件。众所周知，经典的斯图姆(Sturm)-刘维尔(Liouville)问题是求解自共轭微分方程。

外尔在追随希尔伯特研究积分方程和微分方程之后，从1911到1912年开辟了自己的新研究方向：黎曼面。这时，外尔在格丁根大学讲授函数论课程。复值多值函数依靠黎曼面的构造一直依靠直观想象，并用自然语言加以描述。外尔一面授课，一面构思严格的黎曼面理论。年仅26岁的外尔爆出了天才的火花。他将黎曼面R看成被R中各点的邻域U所覆盖，而每一邻域U又附以从U到复平面的映射ψu。外尔把所有由(U，ψu)构成的全体记作 。如果 满足(1) 中所有U的并集即是R，(2)当V=U1∩U2非空 上区域ψu2(V)到复平面区域ψu1(V)的复变函数。我们假 )看作黎曼面。

在20世纪数学史上，外尔的这一想法是划时代的(上面的叙述已采用现在常用的形式)。首先，他采用了邻域思想，无疑为点集拓扑学的出现催生。其次，黎曼面用现在的眼光来看乃是复一维流形。在20世纪大放异采的复流形理论即导源于此。第三，外尔指出，黎曼面的深入研究，“不只是使解析函数的多值性直观化的手段，而且是这个理论的本质部分，是解析函数能在其上生长和繁荣的唯一土壤”。它开创了现代函数论。第四，黎曼面的亏格、分类等导向同调和同伦论，为代数拓扑的诞生指引了方向。外尔这一工作，几乎影响了20世纪的整个纯粹数学。1913年《黎曼面的观念》(Die Idee der Riema-nnschen Fl che)出版。从中人们可以看到希尔伯特的邻域公理化方法，L。E。J。布劳韦尔(Brouwer)使用的单纯形方法，H?庞加莱(Poincare)的基本群观念以及曲面的指向等严格理论。
　　
　　1916年，当外尔从兵营回到工学院讲台时，爱因斯坦的广义相对论问世不久，一场物理学研究的浪潮席卷全球。外尔毫不犹豫地投身其中。1916到1917年，他在苏黎世的联邦工学院讲授相对论课程时，力图把哲学思想、数学方法以及物理学理论结合起来，用自己的思想清晰而严格地阐述广义相对论。讲稿在1918年以《空间、时间、物质》(Raum、Zeit、Malerie)的书名正式出版，五年之内再版五次，成为年轻人的心爱之物。大物理学家W。K。海森伯(Heisenberg)等都从此书中得到教益。
　　1917—1919这几年间，外尔在几何学与物理学上作出了巨大贡献。他受到爱因斯坦在广义相对论中研究引力场的鼓舞，企图提出一种既包括引力又包括电磁力的几何理论，即通过发展几何学来完成“统一场论”的构想。虽然“统一场论”经过努力(包括爱因斯坦本人的努力)至今仍未建立起来，但是外尔一系列的研究成果却深刻地影响着当代物理学的进展。
　　外尔首先对作为相对论数学框架的黎曼几何加以改造和扩展。外尔的这一思想无疑是稍后的E。嘉当(Cartan)的一般联络理论的源头。联络概念已构成现代微分几何的基础，其意义之重大正如分析学中的微分概念。
　　

1932年，希尔伯特70寿辰。外尔写了生日祝辞，表达了他对恩师的崇敬与深情。

爱因斯坦对外尔的论文预印本十分关注，但后来明确表示反对这篇文章。结果爱因斯坦的意见作为按语加在外尔文章的后面，外尔又写了一个回答附在末尾。爱因斯坦的异议是说，不可积标度因子理论如果正确，那么从0出发的两条路径，由于标度的连续变化，一般将会有不同大小，因而两个钟快慢将会不同，时钟依赖于每个人的历史，那就没有客观规律，也就没有物理学了。外尔对此作了回答，但未能消除爱因斯坦的异议。1949年，外尔回忆当时的心情说：“在苏黎世的一只孤独的狼——外尔，……很不幸，他太易把他的数学与物理的和哲学的推测混在一起了。”

外尔的规范理论启发了杨振宁：可以把规范理论从电磁学推广出去。这就产生了杨振宁-米尔斯(Miles)在1954年提出的非交换规范场理论。这一规范场理论在粒子物理中显示了强大的生命力，可惜那时外尔已退休，未曾注意及之。
　　外尔的数学研究总是和当代的物理学最新成就联系在一起。当1925—1926年量子力学刚刚产生的时候，外尔深入地从事李群及其表示的研究，并在1927年把这项研究与量子力学结合起来。1928年，名著《群论和量子力学》(Gruppentheorie und Quanten-mechanik)出版。差不多每一位在1935年之前出生的理论物理学家，都会在自己的书架上放上这本书。不过，几乎没有人去读它。对物理学家来说，这本书太抽象了。
　　1957年杨振宁和李政道发现了宇称不守恒，并由吴健雄等用实验证实。外尔的二分量中微子理论也得到重新肯定。这时外尔去世已经两年，人们无法听到这位理论物理先驱的评论了。让我们再回到数学上来。外尔在本世纪20年代从事李群和李代数及其表示的研究，可说是外尔数学生涯中最光辉的篇章。

　　外尔逝世已经40年了，但是整个国际数学界仍然时刻感到他的存在。他所创立的深刻数学思想至今还在起着指路灯的作用。他的工作一定会影响到下一个世纪。