罗素提出分支类型论 解决集合论悖论

伯特兰·罗素（Russell，Bertrand ）1872年5月18日出生在英国的一个贵族家庭，他的祖父约翰·罗素（John Russell）伯爵是一个著名的自由党政治家，在维多利亚时代曾两度出任英国政府首相。罗素幼年时父母相继去世，于是他和哥哥与祖父母生活在一起，他是在祖母的照料与培育下成长起来的。

罗素6岁时，祖父去世。祖母活到了1898年，她对罗素在童年和青少年时期的发展有过决定性的影响。祖母出身于一个贵族的虔诚教徒的家庭，具有非常强烈的道德信念和宗教信仰，在政治上较为激进。祖母在他12岁生日时赠送给他一本《圣经》，书的扉页上题写着：“勿随众人作恶”，这句话成为罗素一生道德上的座右铭。

罗素少年时未被送到学校去学习，而只是在家里接受保姆和家庭教师的教育。他的童年和少年时代是孤独的，因受他叔叔的影响，他从小就对科学产生了兴趣。在哥哥的帮助下，他11岁时就掌握了欧几里得几何学，这是他智慧发展的重要转折。罗素喜爱数学，少年时代便开始思考哲学问题，探求数学之完美与宗教之可疑的哲学根据，他还从藏书丰富的家庭图书馆中吸取了历史、文学各方面的知识。

1890年10月，罗素18岁考入了剑桥大学三一学院，结识了很多良师益友。大学前三年，他在怀特海指导下 攻读数学，获数学荣誉学位考试的第七名。四年级时罗素的兴趣转向哲学，获伦理科学（当时的哲学）荣誉 考试第一名。在其导师麦克塔格的影响下，他一度成为新黑格尔主义者。大学毕业的第二年，罗素获得了三 一学院研究员的职位，曾前往柏林考察。1895年罗素随同英国哲学家摩尔反叛了新黑格尔主义，转向新实在 论，提出了外在关系学说。1908年被选为皇家学会会员。1910年，任剑桥大学讲师，1914年又任该校 三一学院研究员。1949年成为英国皇家学会的荣誉研究员。其间，他多次去美国讲学、访问和演讲。 20年代初，曾到中国讲学一年。50年代后，主要是从事社会政治活动。

罗素在剑桥大学学习期间，他结识了当时 剑桥大学数学讲师怀特海、哲学家摩尔和E．麦克塔格特以及其他一些历史学家、经济学家和诗人、散文家等。 在此期间，1897罗素撰写了《论几何学的基础》一书。这本书的主题是用康德关于数学是先验综合判断的思想 来检查几何学的发展和现状，他用稍加修改的康德的观点来评价非欧几何学的产生。1900年是罗素哲学思想演 变的一个重要的分界。这一年他受到意大利数学家皮亚诺的启发，开始用新的逻辑分析技术研究数学的基本概 念。1900至1910年间，他同怀特海合作撰写了《数学原理》。该书被人们看作是数学和逻辑发展史上的里程碑， 正是这部巨著使罗素赢得了学术上的崇高地位和荣誉。罗素说，在这个时期，“就哲学的基本问题而言，在所 有的主要方面，我的立场都来自摩尔先生。……在数学上，我主要受惠于康托尔和皮亚诺教授。”从1900年至 1914年，罗素主要从事数理逻辑和数学基础的研究，他在这个领域中最重要的工作都是在这个时期完成的。

但是除了少数人如弗雷格和皮亚诺外，许多数学家忽视逻辑的作用，看不到数理逻辑对数学基础研究的重要性。 1900年7月，罗素到巴黎参加国际哲学会议时遇到了皮亚诺，这件事对罗素的学术生涯来说是一个重大的转折点。 通过聆听皮亚诺的讲话，罗素才意识到数理逻辑对于数学基础研究的重要性．于是罗素向他请教并表示希望拜读 他的著作，在读完皮亚诺的有关著作后，罗素很快地掌握了皮亚诺的符号逻辑和思想，在此基础上他开始了数理 逻辑和数学基础的研究工作，其主要成果是《数学的原理》一书。

在数学领域罗素的主要成就有两个方面，一是他通过建立逻辑类型论来消除逻辑悖论；二是他从一个较为简单 的逻辑系统出发加之少量非逻辑公理推导出经典数学。为了消除悖论，罗素首先在《数学的原理》提出了类型论。

1901年罗素曾提出过一个集合论的悖论，罗素为了让普通老百姓了解数学本身存在的矛盾，后来又把它改编成 通俗的形式，即所谓“理发师悖论”：一个村庄里的理发师说：“我只给那些不给自己理发的人理发。”那么这 个理发师该不该给自己理发呢？ 经过分析罗素发现，从理发师的声明出发，无论怎样推论，得到的都是与假设相反的结论。罗素将他的发现 写信告诉了弗雷格。弗雷格说，“罗素悖论”的发现使他大为惊愕，由于这个悖论，他的著作《算术原理》 中的第五公理便是错的，必须给予剔除，他感觉算术的基础发生了动摇。

为了寻找解决悖论的方法，1906年罗素在论文“关于超穷数和超穷序型理论中的一些困难”中又提出 了另外三种理论，即曲折论、限量论和无类论。

在无类论和恶性循环原则的基础上，罗素于1908年在论文“以类型论为基础的数理逻辑”中进一步 提出了分支类型论的理论。 在分支类型论中，罗素从命题函项出发，对其进行分层处理，将其分属不同的“阶”。 处于底层的是个体，它们既非命题又非命题函项；比它高一层次的是一阶命题函项，它们是仅以 以前一层次中的个体为变元（自变元或约束变元）而构成；更高一层次的是二阶命题函项，它以 一阶函项为变元。类似地，罗素对命题也进行了分层处理，将其分成不同的阶，而且进一步将命 题的真值也分属不同的阶。这样运用逻辑类型论便可以消除各种逻辑悖论。罗素的这种类型论本 质上属于简单类型论，在用它来处理数、命题或语义学悖论时是有困难的。

在数理逻辑方面，罗素还发展了弗雷格和皮亚诺的工作，在《数学原理》中建立了一个完全的命题演算和 谓词演算系统；发展并给出了一个完全的关系逻辑系统；以及提出了摹状词理论。罗素的这个思想后来在 奎因1937年有关数理逻辑的工作中得到发展。限量论是罗素在研究布拉里-福尔蒂悖论后提出的，它的主要 论点是否认全类和不加限制的某些概念的存在性，从而避免过大的类。

罗素致力于将数学建筑在逻辑的基础之上

罗素学识渊博，通晓的学科之多大概是在20世纪学者们很少有的，而且他在哲学、数学、教育学、社会学、 政治学等多个领域都颇有建树。他的哲学观点多变，以善于吸取别人见解、勇于指出自己的错误和弱点而著称。 他的主要数学、逻辑学与哲学著作有《论几何学的基础》、《莱布尼茨的哲学》、《数学原则》、《数学原理》 （与怀特海合著，1910年至1913年间完成）等。

19世纪下半叶，数学家对微积分的理论基础进行了严格处理。魏尔斯特拉斯用"ε-δ" 的方法重新表述了 柯西的极限论，把微积分理论建立在实数理论的基础上；接着，戴德金和康托尔分别从有理数出发定义了实数； 之后，魏尔斯特拉斯和皮亚诺从自然数出发定义了有理数，并且皮亚诺还从不经定义的“集合”、“自然数”、 “后继者”等概念出发，用公理化的方法塑述了自然数理论；最后康托尔建立了无穷集合的理论。康托尔的 这项工作起源于对三角级数和数学基础问题的研究，他先提出了点集理论，进而又提出了一般无穷集合论。 与此同时，数理逻辑通过布尔、施罗德、皮亚诺和弗雷格等人的工作得到了长足的进步。

在数学基础研究方面，罗素继弗雷格之后奉行逻辑主义的研究纲领，其核心思想是认为可以将数学还原为逻辑学，从而奠定数学的牢固基础。因此在他看来，在数学与逻辑之间完全划不出一条界限来，它们二者实际上是一门学科，它们的不同就象儿童与成人的不同，逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成人时代。

罗素是20世纪影响最大、声望最高的思想家之一，也是一位罕见的博学多产的作家。1970年2月，98岁高龄的罗素与世长辞。他给后人留下了七十多部论著和几千篇论文，涉及哲学、数学、伦理、政治、历史、文学及教育等诸多领域。