为了理解贾宪的增乘开方法,我们首先来看一看他是怎样获得“开方作法本源”图中的各廉数的。他在“增乘方求廉法草”中给出的求贾宪三角第七行各数的方法相当于如下程序:
1 1+5 = 6 第一位(上廉)
1 1+4 = 5 5+10 = 15 第二位(二廉)
1 1+3 = 4 4+6 = 10 10+10 = 20 第三位(三廉)
1 1+2 = 3 3+3 = 6 6+4 = 10 10+5 = 15 第四位(四廉)
1 1+1 = 2 2+1 = 3 3+1 = 4 4+1 = 5 5+1 = 6 第五位(下廉)
1 1 1 1 1 1 隅算
就是说将隅算1自下而上增入前位,直到首位为止,就得第一位数字(上廉);求其他各位数字,自下而上重复刚才的程序,每次低一位为止。这是一种随乘随加的过程,所以叫“增乘法”。贾宪发现,这种增乘法不仅可以用来求“开方作法本源”图中的各廉,而且可以被推广用来直接开方,这就是增乘开方法。
贾宪不仅给出了这个图,还给出了这个图的简捷制作规律。从第三行((即2次幂)开始,两端最边上的数字都是1,而中间的任何一个数字都是这个数在上一行相邻两数的和。以第6行为例,所有中间的数字都可以如此求得,请看上面的示意图: 用这样的方法可以求出任意次幂的系数,直至无穷大。
在贾宪之前,只能开平方与开立方,自从贾宪发明此表与“增乘开方法”后,就首次开辟了求解高次方程的真正通途。
在贾宪之后,我国数学家又进一步探索了系数中有负整数的方程解法,最终由南宋秦九韶发明的“正负开方法”彻底解决了这个问题,除了杨辉的书有这个贾宪三角形,另外一本元朝朱世杰1303年写的《四元玉鉴》,书中也有这个贾宪三角的图,并且计算到了二项式的八次方。
西方人把这种二项式展开系数的规律表称之为“帕斯卡三角形”。比英国数学家霍纳1819年求得这一解法(西方称为“霍纳法”)要早五百多年。因此这个三角形应当是叫“贾宪三角”是当之无愧的。
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