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杨辉和孩子两人一起算了起来，直到天已过午，结果都算出来了，他俩才舒了一口气。然后他们又验算了一下。在这张表中，各行、各列或对角线上的三个元素相加均为15。
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孩子望着这位慈祥和善的地方官说：“耽搁你的时间了，到我家去吃饭吧！”杨辉一听，说：“好，好，下午我也去见见你先生。”
孩子望着杨辉，泪眼汪汪，杨辉心想，这一定是有什么原因。他便态度温和地问孩子：“到底是怎么回事呀？”
孩子告诉杨辉：原来他并没有上学，因为他的家中穷得连饭都吃不饱，哪有钱供他去读书呢！孩子说，他每天给地主家放牛，当先生给学生上课时，他就悄悄地躲在教室的窗外偷听，今天上午先生出了这道题，他就在这路上认真地计算起来。
杨辉听了之后，十分感动。这个孩子小小年纪就知道这样努力地学习知识，实在不易。便对孩子说：“这是10两银子，你拿回家去吧。下午你到学校去，我在那儿等你。”下午，杨辉带着孩子来到学校，他把这孩子的情况跟先生说了一遍，又掏出银两，为孩子交了学费。从此这个孩子才能够正式地坐在教室里跟先生学习，孩子的家人对杨辉更是感激不尽。
教书先生对杨辉的清廉为人非常敬佩，于是他们一起谈论起数学。杨辉说道：“方才我和孩子做的那道题好像是《大戴礼》书中的？”
先生笑着说：“是的，《大戴礼》虽然是一部记载各种礼仪制度的文集，但其中也包含着一些数学的知识。这个就是我给孩子们出的数学游戏题。”先生看到杨辉疑惑的神情，又说道：“南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履，一五居中央。”杨辉默念一遍，发现他说的正与上午他和孩子摆的数字是一样的，便问道：“你可知道这个九宫图是如何造出来的？”
教书先生也不知出处。
杨辉回到家中，反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄着这些数字，终于发现一条规律。他把这条规律总结成四句话：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：一开始将九个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横三行，就构成了九宫图。
按照类似的规律，杨辉又得到了“花16图”，就是从1到16的数字排列在四行四列的方格中，使每一横行、纵行、斜行四数之和均为34。后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”、“易数图”、“九九图”、“百子图”等许多类似的图。杨辉把这些图总称为纵横图，并于1275年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，并流传后世。
杨辉是最早研究纵横图——幻方的数学家
纵横图，也叫幻方，它要求把从1到n2个连续的自然数安置在n2个格子里，使纵、横、斜各线上的数字和等于
，这其中包含着很深刻的道理。长期以来，人们只把它当作纯粹的数学游戏，没有给予应有重视。随着近代组合数学的发展，纵横图显示了越来越强大的生命力，在图论、组合分析、对策论、计算机科学等领域中，找到了用武之地。13世纪以前，中国数学家只把它看成一种数字游戏，并没有认真研究它。杨辉却孜孜不倦地探索幻方的性质。杨辉利用等差级数的求和公式，巧妙地构造出了3阶和4阶的幻方。对4阶以上的幻方，他只给出了图形而未留下作法，但他所画的5阶、6阶乃至10阶的幻方全都准确无误，可见他已经掌握了构成规律，他并称10阶幻方为百子图，其各行各列之和为505。
杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了其构成规律的数学家。
在欧洲，这方面的发现和研究要晚许多，第一个幻方出现在公元130年，也是一个3阶图，与《易经》的洛书不同；在德国版画家丢勒1514年的名作《忧郁》中，也出现了一个4阶幻想，与杨辉举过的一个例子只是互换了行列。
为开展数学教育，对前人的成果进行精心的总结归纳
从1261年到1275年这15年间，杨辉独立完成了5种数学著作，包括前文提到的《详解九章算法》。他的书写得深入浅出，走到那里都有人请教，因此他也被认为是一位重要的数学教育家。
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除便捷算法进行了总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时“垛积术”是杨辉继沈括“隙积术”后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在“纂类”中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。 他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。 杨辉除上述成就外，还分别写了《日用算法》、《乘除通变本末》和《田亩比类乘除捷法》等书，这为后世的人们了解当时的数学面貌提供了极为重要的资料。杨辉的著作极大地丰富了我国古代数学宝库，为数学科学的发展做出了卓越的贡献，他不愧为“宋元四大家”之一。
摘选自《世界科技全景百卷书》
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