朱世杰的《算学启蒙》是一部很好教科书

朱世杰最重要的数学著作《算学启蒙》是在公元1299年刊印的，全书分三卷，二十门，总计二百五十九个问题和相应的解答。该书自乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面系统地介绍了当时中国数学家研究的大部分的内容。内容深入浅出，通俗易懂，是一部很好的启蒙读物和教科书；这部著作后来流传到了朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。在中国一度失传，直到1839年得到朝鲜翻刻本，才再重新翻印流传。朱世杰的著作深深地影响着亚洲数学的发展。

《四元玉鉴》是中国代数发展巅峰之代表作

《四元玉鉴》成书于公元1303年，全书共三卷，二十四门，二百八十八问，介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法——“四元术”、高阶等差级数的计算——“垛积术”以及“招差术”即有限差分等方面的研究成果。可以说是朱世杰阐述自己多年研究成果的一部力作。《四元玉鉴》是一部关于中国数学辉煌成就的名著，受到近代数学史研究者的高度评价，认为是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。

 书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，在书中的四元术是天、地、人、物表示在单一的方程式中的四个未知数。其中：四元的问题（需设立四个未知数者）有7问（“四象朝元”6问，“假令四草”1问）；三元的13问（“三才变通”11问，“或问歌彖”和“假令四草”各1问）；二元的36问（“两仪合辙”12问，“左右逢元”21问，“或问歌彖”2问，“假令四草”1问）”；一元的232问（其余各问都是一元）。

可见，四元术——多元高次方程组的解法是《四元玉鉴》的主要内容，也是全书的主要成就。

可以说《四元玉鉴》是中国代数发展之巅峰的代表作。书中主要论及处理齐次方程组、帕斯卡三角形 以及解高次方程(如14次方程)。朱世杰解14次方程式的方法就是现在所周知的霍纳方法。虽然朱世杰似乎是第一个发表帕斯卡三角形和霍纳方法的数学家， 但是他的名字并没有和他的发现齐名，但这并无损朱世杰在数学上所做出的重要贡献。

朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学发展的总结性人物，是宋元数学的代表，是中国以筹算为主要计算工具的古代数学发展的顶峰。   

秦、李、杨、朱的数学著作内容广泛而艰深，象高次方程的数值解法、天元术、四元术、大衍求一术、垛积术和招差术等，都是具有世界意义的学术成就，分别比欧洲要早出现四百年到八百年，在当时世界上居于遥遥领先的地位。这一丰富多彩的辉煌时期在我国数学史上也是罕见的。

朱世杰的“四元术”是在高次方程的数值解法以及“天元术”的基础上发展起来的。当未知数不止一个的时候，除设未知数天元（χ）外，还需要增设地元（y）、人元（z）乃至物元（u），再列写出二元、三元甚至四元的高次联立方程组，然后求解。这就是朱世杰在他的著作中所介绍的“四元术”。 他系统地阐述了运用“天元术”——以代数方法处理几何问题的巨大的优越性。

  朱世杰不仅提出了多元（最多到四元）高次联立方程组的算筹摆置记述方法，而且把《九章算术》等书中的四元一次联立方程组解法推广到四元高次联立方程组，在《四元玉鉴》中举例说明了高次联立方程组的求解方法——消去法。 在欧洲，解联立一次方程开始于十六世纪，关于多元高次联立方程的研究还是十八、十九世纪的事。

朱世杰还把三角垛公式引用到“招差术”上，指出招差公式中的各项系数恰好依次是各三角垛的积，这样就得到了包含有四次差的招差公式，并且可以推广为包含任意高次差的招差公式，这在世界数学史上是第一次，比欧洲牛顿的同样成就要早近四个世纪。 

  除了“四元消法”和“垛积招差”以外，朱世杰在他的著作中还提出了许多值得注意的内容，在中国数学史上，朱世杰第一次正式提出了正负数乘法的正确法则。他对球体表面积的计算问题作了探讨，这是我国古代数学典籍中唯一的一次讨论。虽然结论不很正确，但是他的创新精神是可贵的。在《算学启蒙》中，朱世杰记载了完整的"九归除法"口诀，和现在流传的珠算归除口诀几乎完全一致。

公元1303年中国数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中发表了这个有名的三角形。上图所示是这个三角形最初出现的原始风貌。朱世杰甚至没有宣扬发现了这个三角形的荣耀。他用古法来描述它是用来找寻二项式系数。大约在朱世杰之前两个世纪，中国数学家已经知道这个可用来计算出二项式系数的三角形的模式。

《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问题。在此基础上，朱世杰还进一步解决了高次差的招差法问题。朱世杰的《四元玉鉴》为推进我国古代数学的发展作出了不可磨灭的重要贡献。但是，我们在看到朱世杰的贡献时，千万不要忘了，站在他前面逢山开路，遇水搭桥的伟大数学家李冶的“凿空”之功！　　

总之，朱世杰继承和发展了前人的数学成就，为推进我国古代数学的发展做出了不可磨灭的重要贡献。由于朱世杰和其他同时代数学家的共同努力，使宋、元时期的数学水平达到光辉的高度，在很多方面居于世界前列。朱世杰不愧是我国乃至世界数学史上负有盛名的数学家。

朱世杰是中国数学黄金时代——宋元时期最后的也是最伟大的数学家。历史家总是描述他是所有时期伟大的数学家之一。然而，朱世杰的生平却很少有人知道，就连他生日等确切资料也没人知道。他住在现今北平附近的燕山。他曾“以数学名家周游湖海二十余 年，四方之来学者日众”，说明他以数学研究和数学教学为业游学四方。