1.指标定理简介

这里所谓的指标定理，是指由阿蒂亚、辛格(Singer)于1963年证明的，以他们的名字命名的定理。它被公认为是二十世纪最重要的数学成就之一。有不少人认为如果在二十世纪中挑选出两个最伟大的数学定理，那么其中之一就应该是阿蒂亚-辛格的指标定理(另一个是外尔斯(Wiles )证明的费马(Fermat)大定理)。它的大意是说：对一个封闭的弯曲空间上的一类微分算子(称为线性椭圆微分算子)，可以定义两个整数：一个是用分析办法定义的，称为分析指标；另一个是用拓扑办法定义的，称为拓扑指标。在这个情形下，阿蒂亚-辛格指标定理可以叙述为："对任何一个线性椭圆微分算子D ，下面的公式成立：D的分析 指标= D的拓扑指标。"从这个定理的字面上就可以大致了解，本质上它在数学的两大领域-分析与拓扑-之间建立起了一座内在的桥梁。像这样的将两个看似无关的领域紧密结合起来的结果，其重要性及应用的广泛性是显而易见的。从另外一个角度讲，"D的分析指标"是通过分析的方法决定的一个"整体"的不变量，而"D的拓扑指标"经由所谓的陈省身-魏依(Chern-Weil)理论可以有一个"局部"的表达式。这样上述的公式就可以有另外一种更抽象同时也更具哲学意味的形式："整体=局部的叠加".这里尽管"局部"的量可以任意的变化，但是通过"叠加" (积分)后得到的整体量却是固定不变的！这种"万变不离其宗"的要旨体现出惊人的美感，给人
以强烈的震撼。

如此优美并显然有重要意义的定理在数学中的地位自然举足轻重。例如它就包含了当时微分几何学、拓扑学以及代数几何学中的诸多大定理如高斯-博内特-陈省身(Gauss-Bonnet-Chern)定理、希策布鲁赫(Hirzebruch)符号差定理、希策布鲁赫-黎曼-洛赫(Hirzebruch-Riemann-Roch )定理等等为其特例。无怪乎我国指标定理专家虞言林教授感叹：指标定理像个大太阳，许多大定理都围绕着它转。而著名数学家哈尔莫斯(Halmos)在其综述报告《数学的进展慢下来了吗？》中的评论或许更能说明问题："这项工作的成果是最深刻和最广泛的。对作为报告人的我来说，它是这份报告中最铁的部分。它们不仅是一个定理，而且是一种理论、 一个领域、一种观点，这种观点进入数学的许多部分，同时也受它们的影响。在写到过去50年来微分几何的惊人成就时，奥瑟曼(Osserman)称阿蒂亚-辛格指标定理为'分析、拓扑与几何的美妙综合，特别导致对高斯-博内特定理的新看法：不是作为孤立的结论，而是一大群事物中的一个'."指标理论的创始人阿蒂亚、辛格理所当然地获得了国际数学界的褒奖：阿蒂亚获得了1966年的菲尔兹奖；阿蒂亚和辛格共同获得了2004年的阿贝尔奖。

　　2.中国数学家的先驱性贡献

高斯-博内特-陈省身公式及其发展中国数学家对阿蒂亚-辛格指标定理的形成做出了先驱性的贡献。其中最突出的就是陈省身先生于上世纪四十年代中期的一系列开创性工作，特别是上面已经提到的高斯-博内特-陈省身定理，还有就是陈省身示性类的提出和研究。陈先生自己说过，他一生最好的工作就是高维高斯-博内特公式的内蕴证明。有鉴于此，更由于高斯-博内特-陈省身定理的突出的历史地位，我们先对这个定理的来龙去脉作一个简略的回顾。

　　事实上，陈省身先生的工作可以追朔到著名的古希腊欧几里得(Euclid)的《几何原本》中的一个基本定理："平面上任何一个三角形的内角之和等于180度".这个定理到19世纪中叶被德国数学大师高斯推广到球面上弯曲三角形的情形，而高斯的定理又被法国数学家博内特推广到多边形的情形。高斯和博内特的定理后来在理论和实际中都有很大的发展和应用，成为二维微分几何中最重要的定理之一。

　　到了19世纪下半叶，由于研究物理学特别是电磁学的需要，同时也由于数学内部发展的驱动，高斯的学生，大数学家黎曼提出并研究了高维微分几何(例如我们所处的空间是三维的)，后来成为爱因斯坦(Einstein)发展广义相对论的重要工具。由于高斯-博内特公式在二维微分几何中的重要性，一个自然而然的问题就是能不能把它推广到高维微分几何中去。二十世纪著名的几何和拓扑学家霍普夫(Hopf)就在上世纪20年代撰文认为这个问题是当时微分几何中最重要的未解决问题。而陈省身先生顺应历史潮流，于上世纪40年代彻底解决了这个问题。现在文献中都把这个高维情形下的定理称为高斯-博内特-陈省身公式，充分肯定了陈先
生的贡献。然而，陈先生的伟大贡献不仅仅限于此。它还反映在以下几个方面：其一，他利用了从他的老师，法国大几何学家嘉当(E. Cartan )那里学到的独特技术，采用了完全创新的方法，给出了此问题的一个出人意料的处理，对后来发展产生了深远的影响；其二，由他的方法出发，陈先生意识到"用微分形式来表示拓扑不变量"应该在微分几何中起非常重要的作用。正是由这个原理出发考察当时已经知道的不变量，并且推陈出新，陈先生定义了现在以他的名字命名的示性类(现通称陈示性类，Chern class )。

　　陈示性类的提出和发展，掀开了微分几何的新篇章。上面提到过的大数学家霍普夫评论到："微分几何由此进入了一个新的时代".而多年后，年轻一辈的微分几何代表人物辛格(即阿蒂亚-辛格指标定理的作者之一)写到："对我们来说，陈就是现代微分几何".具体到阿蒂亚-辛格指标定理这个伟大的成就，从以下的两个方面可以看出正是陈先生的工作奠定了它的基础：(i ) 高斯-博内特-陈省身公式可以看成是第一个在任意维数都成立的指标定理的一个特例，是指标定理的先驱；(ii) 指标定理中的拓扑指标本身就是用陈示性类来定义的，这反映了陈示性类的不可或缺的基本重要性！

　　由上面简短的历史概述也可以体会，杨振宁先生脍炙人口的诗句"千古寸心事，欧高黎嘉陈" ，赞颂陈先生在几何学中的历史地位直追欧几里德、高斯、黎曼和嘉当，是十分到位的。

　　对指标定理的形成做出先驱性贡献的另一位中国数学家是吴文俊先生。希策布鲁赫在其1956年的名著《代数几何中的拓扑方法》的导言中指出，是吴文俊最早猜出了4维流形的符号差公式的形式，后来由托姆(Thom)予以证明的(苏联数学家洛赫林(Rokhlin )也独立地证明了这个公式)。而希策布鲁赫这本名著的主要定理之一就是把吴文俊猜到的公式推广到任意维数的情形。

　　后来的发展证明，希策布鲁赫在这本书中证明的定理以及使用的方法(即由托姆发展起来的配边理论)对阿蒂亚-辛格指标定理的最终提出和证明有本质性的启示。
　　托姆于1958年获得了菲尔兹奖，希策布鲁赫后来获得了沃尔夫奖。陈先生获得了沃尔夫奖和2004年颁发的首届邵逸夫数学奖，吴文俊先生获得了2001年首届国家最高科学技术奖和2006年的邵逸夫数学奖，这些都反映了数学界对上述工作的高度赞扬。

　　3.指标定理研究在中国的萌芽

尽管指标定理从一开始就被公认为数学中的伟大成就，但由于其牵涉面广，用到的知识多而且深刻，所以要完全弄懂它并不是一件容易的事情。因此虽然国内在60年代就影印出版了帕莱斯(Palais)编著的《阿蒂亚-辛格指标定理讨论班》(这本书是国际上第一次包含指标定理完整证明的正式出版物)，但真正理解指标定理的人几乎没有。而作为国际微分几何领袖的陈省身先生，自然知道它的分量。因此，1972年中美关系解冻后他第一次回国就在中国科学院数学研究所以《纤维空间与示性类》为题做学术报告，"描绘了阿蒂亚-辛格指标定理的全貌".陈先生的报告显然在数学所的青年数学家中间产生了影响。例如当时才三十出头的虞言林就投入到高斯-博内特-陈省身公式的研究，写出了好几篇颇具匠心的论文。他1983年发表在《拓扑学(Topology)》杂志上的论文成功地将高斯-博内特-陈省身公式推广到组合流形的情形，是我国大陆数学家第一次在这份著名的杂志上发表论文。

另一方面，陈先生利用他与阿蒂亚的友谊，积极推动在大陆刊印《阿蒂亚论文全集》，并亲自撰写前言，希望此全集"不要成为书架上的摆设" (此前言的译文见附录)。

后来，陈先生接受吴大任和胡国定两位先生的邀请，回母校南开大学创立南开数学研究所。在筹备1986-1987学年南开数学所的几何与拓扑学术年活动时，陈先生再次强调要学习和研究指标定理，并语重心长地指出"即使出不了文章，也要搞阿蒂亚-辛格指标定理".这深深鼓舞了同是筹备委员会成员的虞言林。虞言林后来回忆，陈先生的上述讲话"体现了一种期待、一份'偏袒' 、一项号召。这句话对我的文章的完成起了决定性的影响".这里所谓"我的文章"就是指虞言林关于狄拉克(Dirac )算子的局部指标定理的工作。在这个工作中，虞言林将印度天才数学家帕托笛(Patodi)的方法推广到旋量丛情形，给出了关于狄拉克算子的阿蒂亚-辛格指标定理的直接的热方程证明。这是我国大陆数学家在改革开放后对指标定理所做的第一项坚实的工作，它独立于西方同期的工作，可以被认为是文化大革命以后中国指标定理研究的奠基石。

　　到了1986年南开数学所的几何与拓扑学术年正式开始时，虞言林以他的上述工作为基础，开设了阿蒂亚-辛格指标定理的课程。这对指标定理在国内的普及和发展起了非常巨大的作用。很多年轻的参加者都是第一次接触到纤维丛、示性类、狄拉克算子、热核等概念，他们正是通过虞老师的课程，还有其他的类似课程，迈入了现代数学的殿堂。笔者自己有幸在那个时候成为虞老师的硕士研究生，跟随虞老师学习指标定理，并在虞老师的指导和直接参与下，同当时正在南开数学所做博士后的拉法堤(Lafferty)一起，将虞老师的工作推广到带群作用的情形。我们三人合作的论文后来发表在《美国数学会会刊(Transactions of AMS )》上。

南开新闻网 　 2006-10-28