七十多年的误解 

普莱梅依在1908年发表的论文《具有给定单值群的黎曼型》，对黎曼-希尔伯特问题做出了肯定回答。普莱梅依的途径是化为积分方程来处理，借助于当时方兴未艾的弗雷德霍姆(Fredholm)理论。1913年，美国数学家伯克霍夫(G. Birkhoff)又采用某种逼近方法独立证明了普莱梅依的结果，并研究了他自己提出的一系列推广性问题。1957年，罗尔利用向量丛概念，从代数几何的观点将普莱梅依的结果推广到一般的黎曼曲面上去。研究黎曼-希尔伯特问题的代数几何途径在六、七十年代又被德利涅(P. Deligne)大大发展和完善了。

因此，长期以来，人们一直认为希尔伯特第21问题早已被解决了，答案是肯定的。然而，到了1980年代，柯恩(T. Kohn)、阿诺德(V.I. Arnold)等数学家开始发现并指出了普莱梅依的工作存在着缺陷。原来，普莱梅依定理涉及的实际上并不是真正的富克斯型方程组，而是比富克斯型范围更宽的所谓“正则”(regular)型方程组。

姗姗来迟的否定解答

1989年，数学界传来了一个意外的新闻：苏联数学家鲍里布鲁克(A.A. Bolibruch)关于希尔伯特第21问题举出了反例。这就是说，在普莱梅依的“肯定”结果发表七十多年以后，数学家们才看到在一般情形中希尔伯特第21问题的解答原来是否定的。

希尔伯特第21问题的解决是富有戏剧性的过程。数学是一门精密的科学，但数学家的推理也难保绝对不会出现疏漏，这种疏漏有时甚至能逃过最严格的审查。在这方面，希尔伯特第21问题也并非数学史上绝无仅有的例子。

著名的四色问题的研究，也发生过这样的情况。1879年，英国《自然》（Nature）杂志宣布一位名叫肯泊(A.B. Kempe)的律师证明了四色问题。肯泊曾在剑桥大学学过数学，著名的数学家凯莱(A. Cayley)是他的老师。大概是出于凯莱的建议，肯泊将他证明四色问题的论文投给了由当时另一位大名鼎鼎的数学家西尔维斯特（J.J. Sylvester）任主编的《美国数学杂志》，并通过审查正式发表出来。但十一年以后，另一位英国学者希伍德(P.J. Heawood)却提出了肯泊的证明有漏洞。当然，像普莱梅依关于黎曼-希尔伯特问题的结果，时隔七十余年才被看出破绽，时间之长，倒还是少见的。

另一方面，在数学研究中，概念与方法有时比最终结果更为重要。因此，有些数学结果尽管后来被指出有误，但在解决问题过程中发展起来的概念与方法，却依然能够成为有价值的数学财富。如上述肯泊关于四色定理的证明虽有漏洞，但他所提出的所谓“肯泊链”的方法，却一直在地图着色问题的研究中扮演着重要角色。希尔伯特第21问题的研究，也提供了这样的例证。普莱梅依的工作虽有缺陷，但对推动整个黎曼-希尔伯特问题的研究以及积分方程理论的发展，仍是功不可没。