1736年的克里斯蒂安•哥德巴赫的一封来信，引起了欧拉对数论的极大的兴趣 。此前欧拉与哥德巴赫一直保持着很好的关系，他们之间有多年密切的通信联系。最初哥德巴赫告诉欧拉许多有关费马未证明的猜想，并引起了欧拉的注意。哥德巴赫被数论问题深深地吸引住了，但是，他的热情远远超过了他的才能。开始，欧拉似乎无意研究这些问题，但是，由于他自己无止境的好奇心和哥德巴赫的坚持，欧拉终于涉足其间。不久，他就被数论，特别是被费马一系列未证明的猜想深深地迷住了。

正如现代作家兼数学家安德烈•韦尔所述，“……在欧拉（有关数论）的著作中，有相当一部分旨在证明费马的猜想。”在此之前，欧拉的数论著作在他的《全集》中已占了整整四大卷。人们认为，在他的科学生涯中，即使没有其他成就，这四卷著作也足以使他跻身于历史上最伟大的数学家之列。

欧拉对数论的贡献

例如，费马曾推测，某些素数可以写成两个完全平方数之和，欧拉对此作出了证明。显然，除2以外，其它所有素数都是奇数。当然，如果我们用4去除一个大于4的奇数，我们一定会得到余数1或3（因为4的倍数或4的倍数加2是偶数）。我们可以更简明地说，如果p＞2是素数，那么，或则p=4k＋1，或则p=4k＋3（k是整数）。

1640年，费马曾猜想，第一种形式的素数（即4的倍数加1）可以并且只能以一种方式写成两个完全平方数之和的形式，而形如4k＋3的素数则无论以什么方式都不能写成两个完全平方数之和。

这是一个独特的定理。例如，素数193=（4×48）＋1可以以一种唯一方式写成两个平方数之和。对本例，我们可以很容易地证明，193=144+49=122＋72，而其他任何形式的平方和都不能等于193。另一方面，素数199=（4×49）+3绝对无法写成两个平方数之和的形式，这同样可以通过列出所有可能的形式来证明其不可能性。因此，我们在这两种形式的（奇）素数之间，就其表达为两个平方之和而言，发现了根本的差别。这是一个无法预料或凭直觉预测的性质。

但欧拉在1747年对此作出了证明。

欧拉对所有偶完全数的问题也现出了极大兴趣，同时也显示他是一个真正的数论天才。还有他关于亲和数这个问题的研究。亲和数是一对具有下列性质的数字：一个数字的所有因数之和恰好等于第二个数字，而第二个数字所有因数之和也同样等于第一个数字。亲和数早在古代就引起了数学家的兴趣，他们认为亲和数具有神秘的“超数学”色彩。即使在现代，亲和数也因其独特的互逆性质游弋在数字学的伪科学中。

古希腊人已知道数字220和284是亲和数。即，220的所有因数是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110，这些因数加起来恰好等于284；同样，284的所有因数是1、2、4、71和142，它们加起来等于220。但遗憾的是，当时的数字学家们还不知道有其他的亲和数，直至1636年，费马才证明出17，296和18，416构成了第二对亲和数。（实际上，这对亲和数早已为阿拉伯数学家班纳（1256—1321年）所发现，比费马早300多年，但是，在费马时代，西方人还不知道这一对亲和数的存在。） 1638年，笛卡儿或许是为了与费马争胜，骄傲地宣布他发现了第三对亲和数：9，363，584和9，437，056。

在欧拉开始研究这个问题之前的一百年间，亲和数的研究一直停滞不前。1747年至1750年期间，欧拉发现了122，265和139，815以及其他57对亲和数，这样，他独自一人就使世界已知亲和数增加了近20倍！欧拉之所以能够取得这样的成果，是因为他找到了生成亲和数的方法，并用这种方法生成了亲和数。

至此，我们可以就我们对欧拉数论的简要评述作一个总结。如前所述，本章的这些定理最直接地表明了欧拉在数论领域的巨大影响。诚然，他是站在天才的前辈、特别是站在费马的肩膀上。但是，欧拉的研究，不可估量地丰富了这一数学分支，并使他自己跻身于第一流的数论学家之列。