康托尔1899年7月28日给戴德金的信中，谈到布拉里·福蒂所提到的矛盾，这个矛盾并没有导致康托尔放弃集合的良序性，而放弃了它的集合性。他把集合分为两类：相容集合和不相容集合，而只把前者叫做集合。这种区分法预示了冯·诺依曼在1925年引进的集合和类的区别。但是康托尔对于这种区分的判断标准仍然是不精确的。如果我们把一个集体考虑为一个对象而没有矛盾，它是一个集合。这个想法后来改进为：当一个集体是另一个集体的元素，它是一个集合。

这种相容集体和不相容集体的区别早已被施罗德引进来。他认为如果集体的元素彼此是相容的，它是相容的；而如果集体的元素彼此是不相容的，它是不相容的。有趣的是施罗德引进的这种区分和悖论没有关系，因为这种现代形式的悖论当时还不知道。康托尔关于集体的叙述——两个等价的集体或者都是集合，或者都是不相容的，可以看成是取代公理的最早的表述。这个公理是弗兰克尔和斯科兰姆在1922年提出的。

布拉里·福蒂的悖论揭示了康托尔集合论的矛盾。其实，康托尔本人在这之前已经意识到集合论的内在矛盾。他在1899年7月28日给戴德金的信中指出，不能谈论由一切集合构成的集合，否则就会陷入矛盾。这实际上就是罗素悖论的内容。

康托尔最大基数悖论和布拉里·福蒂悖论到罗素悖论都是集合论悖论，它们直接同康托尔朴素集合论的不严格性有关。毛病出在集合的定义上，也就是任何性质就对应一个具有这种性质的集合，这就是所谓内函公理组。集合论的这种矛盾必须通过削弱这个错误的公理组才能解决。

罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）：

1、理查德悖论。法国第戎中学教师理查德在1905年发表了一个悖论，大意如下：法语中某些片语表示实数，比如“一个圆的圆周与直径之比”就表示实数π。法语字母也象英语字母一样有一定的顺序，所以我们可以把所有片语按照字母顺序排列，然后按照片语中字母的多少排列，少的在前，多的在后。这样我们把能用片语表达的实数排成一个序列，al，a2，a：，……。于是就得到了所有能用有限多字(字母)定义的数了。它们构成了一个可数集合E。现在我们提出一个规则把这个序列改变一下造成一个数来：“设E中第n个数的第n位为p，我们造一个实数如下：其整数部分为0，如果p不是8或9；其第n位小数为p＋1，要是p是8或9的话，则第n位变成1”。这个实数显然不属于E，因为它和E中每个数都不一样。但是它们却可以由上面有限多个字组成的话来表示，因此应该属于E，这就出现矛盾。

理查德提出的悖论是因为看到法国《纯粹科学与应用科学通论》1905年3月30日一期的编者按语而写的。编者谈到，1904年8月在德国海德尔堡召开的国际数学家大会上，德国数学家寇尼格证明连续统是不能够良序化的。可是一个月后，德国数学家策梅罗却证明了任何集合都能良序化，理查德从这段话中看到了集合论中存在“某些矛盾”，这些矛盾和良序性和序数的概念有关系，于是他给该刊物编辑部写了一封信，登在1905年6月号上，编者还加了按语。

2、培里悖论。培里是英国的图书馆管理员。有一天他告诉罗素下面的悖论：英语中只有有限多个音节，只有有限多英语表达式包含少于40个音节，所以，用少于40个音节的表达式表示的正数数目只有有限多个。假设R为不能由少于40个普的英语表达式来表示的最小正整数(The least positive integer which is not denotedby an expression in the English language containing fewer than forty syllables)。但是，这段英语只包含三十几个音节，肯定比40个少，而且表示R，这自然产生了矛盾。

3．格瑞林和纳尔逊悖论。纳尔逊是新康德主义的小流派之一弗瑞斯派的代表。1908年他和他的学生格瑞林把下面的悖论发表在弗瑞斯派的一个文集上，通常称为格瑞林悖论。如果一个形容词所表示的性质适用于这个形容词本身，比如“黑的”两字的确是黑的，那么这个形容词称为自适用的。反之，一个形容词如果不具有自适用的性质，就叫做非自适用的。在英语中：“Polysyllabic”(多音节的)，“English”(英语的)这些词都是自适用的形容词，而“monosyllabic”(单音节的)、“French”(法语的)这些词就是非自适用的。现在我们来考虑“非自适用的”这个形容词，它是自适用的还是非自适用的呢？如果“非自运用的”是非自适用的，那么它就是自适用的；如果“非自适用的”是自适用的，那么按照这词的意思，则它是非自适用的，这就导出矛盾。