3、模型论

模型论是数理逻辑的一个分支，讨论形式语言与其解释或者模型之间的关系。如语言是一阶谓词逻辑，则这种模型论就称为“古典模型论”。最简单的模型是数学中的一些结构，例如 5阶循环群，有理数域，以及所有按照包含关系历形成的偏序结构由整数构成的集合等等。

在数学里我们直接研究这类模型，而不管形式语言。这个理论可以说是泛代数(当然也包含通常代数中的群论、环论、域论等等)，它们研究同态、同构、子结构、直积等等。可是关于这些模型的性质，都要表示成为语言。反过来，一个语句可以真也可以假，看你是说哪一个模型。

这样看来，模型论和代数学是有区别的，有人把模型论看成是逻辑加上泛代数，这也是十分形象的。模型论一定要明显地涉及语句，并且以语句为出发点，这是它同一般代数学有区别的地方。另外模型论的语言是形式语言，它与模型的关系是语法和语义的关系。对于形式语言，我们只是按照一定的规则(文法规则)去造出一些语句，至于这些语句含义如何、是真是假，就不是语法所能管得了的。

语法只考虑形式的结构，比如构成语句的符号是哪些，符号之间的关系如何(谁在谁的前面而不能在后面)等等，而语义则提供解释或者意义，只有意义才能确认语句的真假(除了重言式或恒真语句或同语反复之外)。因此可以说，模型论是研究形式语言的语法和语义之间关系的学科。

在数学中，我们对模型还不是很陌生，在非欧几何中就是靠引进模型才论证了非欧几何公理系统是不矛盾的。但一直到1950年左右，模型论才正式成为一门新学科。主要标志就是1949年亨肯发表的完全性定理的新证明，以及1950年国际数学家大会上塔尔斯基与罗滨逊的的报告，以及1951年罗滨逊《代数的元数学》的发表。

自此之后，模型论大致可分为两条路线，一条是美国西海岸的斯科兰姆一塔尔斯基路线，他们从四十年代起就由数论、分析、集合论的问题所推动，强调研究一阶逻辑所有公式的集合模型。另一条是美国东海岸的罗滨逊路线，他们的问题由抽象代表的问题所推动，它强调无量词公式集与存在公式集。关于两块量词的理论很多，它们有许多应用。罗滨逊主要用于域论，前苏联马力茨夫等人主要用于群论。
 

属于纯粹模型论主题的最早的定理有两个，一个是罗文汉姆的定理。他在1915年证明每一组有限多公理如果有模型的话，则它也有一个可数模型。把这个定理推广到有可数个公理的情况。另一个定理是紧性定理。

三十年代，哥德尔对可数语言证明紧性定理，1936年苏联马力茨夫推广到不可数语言。紧性定理在代数学方面有许多应用。

这两个定理都肯定某种模型的存在性，特别是罗文汉姆—斯科兰姆定理及紧性定理指出有想不到的特别大的模型存在。最明显的就是自然数集合的皮亚诺公理(其中归纳公理加以改变)，不仅有通常自然集N为其标准模型(即包括可数多个元素)，还有包括不可数多个元素的模型，这就是所谓非标准算术模型。第一个非标准算术模型是由斯科兰姆在1934年首先造出的。这两个定理的证明都依赖于造模型的方法。

模型论中常用的构造模型方法与工具有：初等链方法、图式、紧性定理、下行罗文海姆—斯科兰姆定理、省略类型定理、力迫法、超积、齐性集合等8种，这些方法都是相当专门的。

图式方法是亨金及罗滨逊首创的，它有许多用处，不仅能证明紧性定理、罗文海姆—斯科兰姆定理、哥德尔完全性定理等等，而且可以得出许多新定理。

初等链是塔尔斯基及沃特在1957年提出的。超积是最常用的构造模型的方法，超积和超幂的用处表现在同构定理上。超幂的另一个很大的用处是构造非标准分析的模型。

对于数学理论最重要的事是公理化。在模型论中，公理数目可以有限多，称为有限可公理化的理论。这类理论有；群、交换群、环、整域、域、有序域、全序集、格、布尔代数、贝纳斯—哥德尔集合论等等。许多重要理论是不能有限公理化的，其中一部分是递归可公理化的。如可分群、无挠群、特征0的域、代数封闭域、实封闭域、有限域、尤其重要的是皮亚诺算术和ZF集合论，而有限群论甚至连递归可公理化都不行。

一个理论是递归可公理化的充分必要条件是：它的所有推论集合是递归可枚举的。通常它不一定是递归的，如果是递归的，则称为可判定的。可以证明，每个完全、递归可公理化理论是可判定的。因此利用模型论的有力工具可以得出判定理论的一些结果，如早在1948年塔尔斯基等人证明，实闭域理论是完全的，因此是可判定的。

早在十九世纪，数学家利用造模型的方法来肯定非欧几何的真实性，他们造过许多模型，但这些模型本质上没有区别，也就是“同构”。在二十世纪初，数学家一般认为，一个理论的模型都是同构的，如自然数理论就是皮亚诺公理所刻划的一种。

但是这种想法很快就由于自然数非标准模型的存在而被打破，所以人们又在模型论当中引进重要的概念—范畴性：一个理论或一组公式如果其所有模型均同构，它就称为范畴的。实际上，这对于形式系统(或公理系统)是仅次于协调性(无矛盾性)、完全性、独立性之后的第四个重要要求。但是这个要求实在太强了，实际上，只要一个理论有一个无穷模型，那么它就不是范畴的，所以我们把范畴性的要求降低。

模型论给数学带来许多新结果，我们大致可以分成三大部分：在代数方面的应用主要是在群论和域论方面；在分析方面的应用主要是非标准分析；在拓朴学、代数几何学方面的应用主要是拓扑斯理论。

模型论在代数学中最早的应用是量词的消去，早在三十年代，就由此得到了整数加法群的判定步骤，塔尔斯基得到实数的可定义集和实数域的判定步骤。

1965年以后，数理逻辑的发展逐步影响到数学本身，因而重新引起数学家们的注意，特别是集合论与模型论的结果不断冲击数学本身。模型论在解决代数问题方面显示巨大威力，特别是艾柯斯及柯辰解决了著名的阿廷猜想，这个问题曾使代数学家为难了几十年。

非标准分析是罗滨逊在1960年创造的。1961年1月，在美国数学大会上，罗滨逊宣布了他的非标准分析，其实这就是逻辑学家所谓的实数的非标准模型。在这篇报告中，他总结了新方法的所有重要方面，因此无可争辩地成为这个新领域的独一无二的创造者。他指出，实数系统是全序域，具有阿基米德性质，也就是任何一个正实数经过有限次自己加自己之后可以超过任何一个实数。但是非标准实数一般并不满足这个条件，比如说一个无穷小量的一千倍，一万倍、一亿倍甚至更多，也大不过 1，这个性质称为非阿基米德性质。

最近，非标准分析在分析、微分几何学、代数几何学、拓扑学有一系列的应用，使数学家对非标准分析也不得不另眼相看了，特别是非标准拓扑和非标推测度论近来更是有重要的突破。

非标难测度论已经得出许多新的“标准”结果，如关于测度的扩张、位势理论、布朗运动理论、随机微分方程、最优控制理论，甚至运用到数理经济学及高分子物理化学当中。其中关键来自1975年洛布的工作。他从非标准测度空间能造出丰富的标准测度空间，使得非标准分析真正能对标准数学作出自己的贡献。

拓扑斯是统—现代数学的最新基础，它反映了数理逻辑与范演论的结合。范畴论大约在六十年代初由同调代数学脱胎而出，而同调代数则在四十年代末到六十年代初由代数拓扑学发展而来。代数拓扑学则是用群、环、域、模等代数结构来刻化几何图形的拓扑结构。同调代数学则用代数结构来刻化代数结构，比如说一组群与另一组的对应关系。把这个组发展到集合或其它任何结构，研究范踌与范踌之间的关系就是范畴论。

我们可以考虑几何的范踌和范踌的范踌。1963年出现了层的范畴，这就是拓扑斯。托普斯使范畴方法迅速推广到其他数学分支中去。1970年，劳威尔等人引进一种特殊的范畴—初等拓扑斯。几年之后，证明了一个重要结果，一个初等拓扑斯正好是高阶直觉主义集合论的模型。因此，初等拓扑斯就象集合一样成为数学的基础，而且更接近数学的内容。