布劳威尔认为数学直觉的世界和感觉的世界是互相对立的,日常的语言属于感觉世界,不属于数学。数学独立于语言存在,而逻辑是从属于语言的,它不是揭露真理的工具,而是运用语言的手段。正因为如此,数学中最主要的进展不是靠逻辑形式完美化而得到,而是靠基本理论本身的变革。
布劳威尔认为逻辑规律并不对数学有什么约束作用,数学是自由的,不一定遵守什么逻辑规则。他认为经典逻辑是从有限集合的数学抽象出来,没有理由运用到无穷集合。1908年,他反对把排中律运用于无穷集合上,因为有穷集合可以逐个检查,而无穷集合则办不到,因此存在不可断定真假的第三种情况,就是说有既不可证明,又非得要证明的命题。
1908年到1913年,布劳威尔主要从事拓扑学的研究,他运用单形逼近的方法证明了维数的拓扑不变性,这在数学上是个了不起的成就,是极重要的拓扑方法。他在李群、几何等方面也有出色的工作,不过很快他又转向基础研究。
布劳威尔象康德和彭加勒一样,认为数学定理是先验综合真理。他在1912年的阿姆斯特丹大学就职演说中,他承认由于非欧几何的发展,康德的空间学说不可信。但他同弗雷格和罗素相反,仍然坚持康德的观点,算术是从对时间的直觉导出的。由于现代数学是建立在算术基础上的,所以整个数学也是如此。正是时间单位的序列产生序数的概念,而连续统[0,1]只是不可用新单位穷尽的居间性,他认为几何学也依赖于这种直觉。他认为除了可数集合之外,没有其他集合,所以ω以上的超穷数都是胡说八道,象
0与
1之间所有实数的集合是毫无意义的。这点他在1908年罗马召开的国际数学家大会上讲过,数学无穷集合只有一个基数,即可数无穷。
1909年他同希尔伯特通信,指出形式主义和直觉主义的争论焦点。1912年说到这个问题之后,他一直到1917年才又开始这方面的论战。从这时起到二十年代末他发表一系列的文章,开始建立一个不依靠排中律的集合论,接着又建立构造的测度论及函数论,这是他从消极的否定转变为积极的构造。同时他试图使数学家相信排中律导出矛盾。他运用了扇定理,这个定理及选择序列、散集等是他的直觉主义数学的独创。
三十年代初期由于哥德尔的工作,许多数学家开始重视直觉主义。外尔早在1920年左右就表示效忠于直觉主义,从而激起希尔伯特的极大愤怒。他吸收了直觉主义一些思想,开始用有限主义方法来完成证明论方案,企图一劳永逸地解决基础问题,不料没能成功,于是还得求助于无穷。
直觉主义仍然进行他们的事业,特别是海丁建立直觉逻辑系统,它包含古典逻辑系统。后来更有人建立直觉主义集合论及直觉主义分析。不过,仍然不能尽如人意。
1967年,美国数学家毕肖普出版《构造性分析》一书,开始了构造主义的时期。他们不象以前直觉主义者那样偏激,而是积极采用构造的方法解决一个个具体问题。不去单纯的否定或争论。毕肖普自信会取得大多数人的支持,不过没有能实现,因为他们毕竟成就有限,难于同整个数学汪洋大海相比,可是十几年来构造主义还是取得一定进展,如《构造性泛函分析》等书问世,说明它还有一定的市场。
|