结束语
数学素以精确严密的科学著称,可是在数学发展的历史长河中,仍然不断地出现矛盾以及解决矛盾的斗争。从某种意义下讲,数学就是要解决一些问题,问题不过矛盾的一种形式。
有些问题得到了解决,比如任何正整数都可以表示为四个平方数之和;有些问题至今没有得到解决,如哥德巴赫猜想:任何大偶数都再可以表表示为两个素数之和。我们还很难说这个命题是对还是不对,因为随便给一个偶数,经过有很多次试验总可以得出结论,但是偶数有无穷多个,你穷毕生精力也不会验证完。也许你能碰到到一个很大的偶数,找不到两个素数之和等于它,不过即使这样,你也难以断言这种例外偶数是否有限多个,也就是某一个大偶数之后,上述歌德巴赫猜想成立。这就需要证明,而证明则要用有限的步骤解决涉及无穷的问题。借助于计算机完成的四色定理的证明,首先也要把无穷多种可能的地图归结成有限的情形,没有有限,计算机也是无能为力的。因此看出数学永远回避不了有限与无穷这对矛盾。只要无穷存在,你就要应付它。这可以说是数学矛盾的根源之一。
在处理出现矛盾的过程中,数学家不可能不进行“创造”,这首先表现在产生新概念上,我们不妨先不管自然数。为了解决实际问题、人们必须发明出“零”来,然后要造出负数、有理数、无理数乃至虚数。所谓虚,就是不实,凭空想象出来的意思,不过解代数方程有必要把它请进来,请进来后又觉得它不实在、不太放心。后来它用处很大,能解决非它不可的问题,于是轰也轰不走了。
复数挤进数学王国之后,跟着四元数、八元数、超复数……都来了,它们可没有复数都么大的用处,甚至根本没用。要还是不要呢?这也使数学家处于为难的境地。数学家经常处于这种矛盾的过程中。
“什么是存在?”,这是数学的一个基本问题。什么东西可以挤进数学王国?直觉主义者规定一个较窄的限制:必须能够一步一步构造出来;而形式主义者规定一个较宽的限制:只要没有矛盾就行了。不过什么叫没有矛盾?当然逻辑没有矛盾,其实就是遵守形式逻辑规律。可是形式逻辑是从人类有限经验推出来的,对于无穷情形还灵不灵?这当然存在问题,可是不许推广,那数学还能剩下多少靠得住的东西呢? |