结束语

数学素以精确严密的科学著称,可是在数学发展的历史长河中,仍然不断地出现矛盾以及解决矛盾的斗争。从某种意义下讲,数学就是要解决一些问题,问题不过矛盾的一种形式。

有些问题得到了解决,比如任何正整数都可以表示为四个平方数之和;有些问题至今没有得到解决,如哥德巴赫猜想:任何大偶数都再可以表表示为两个素数之和。我们还很难说这个命题是对还是不对,因为随便给一个偶数,经过有很多次试验总可以得出结论,但是偶数有无穷多个,你穷毕生精力也不会验证完。也许你能碰到到一个很大的偶数,找不到两个素数之和等于它,不过即使这样,你也难以断言这种例外偶数是否有限多个,也就是某一个大偶数之后,上述歌德巴赫猜想成立。这就需要证明,而证明则要用有限的步骤解决涉及无穷的问题。借助于计算机完成的四色定理的证明,首先也要把无穷多种可能的地图归结成有限的情形,没有有限,计算机也是无能为力的。因此看出数学永远回避不了有限与无穷这对矛盾。只要无穷存在,你就要应付它。这可以说是数学矛盾的根源之一。

在处理出现矛盾的过程中,数学家不可能不进行“创造”,这首先表现在产生新概念上,我们不妨先不管自然数。为了解决实际问题、人们必须发明出“零”来,然后要造出负数、有理数、无理数乃至虚数。所谓虚,就是不实,凭空想象出来的意思,不过解代数方程有必要把它请进来,请进来后又觉得它不实在、不太放心。后来它用处很大,能解决非它不可的问题,于是轰也轰不走了。

复数挤进数学王国之后,跟着四元数、八元数、超复数……都来了,它们可没有复数都么大的用处,甚至根本没用。要还是不要呢?这也使数学家处于为难的境地。数学家经常处于这种矛盾的过程中。

“什么是存在?”,这是数学的一个基本问题。什么东西可以挤进数学王国?直觉主义者规定一个较窄的限制:必须能够一步一步构造出来;而形式主义者规定一个较宽的限制:只要没有矛盾就行了。不过什么叫没有矛盾?当然逻辑没有矛盾,其实就是遵守形式逻辑规律。可是形式逻辑是从人类有限经验推出来的,对于无穷情形还灵不灵?这当然存在问题,可是不许推广,那数学还能剩下多少靠得住的东西呢?

  

在数学史上这种矛盾也是屡见不鲜的。无穷小量刚出现时,漏洞百出、无法自圆其说,可是行之有效、解决问题。所以达朗贝尔说:“前进,你就能恢复信心!”,这可以说是一种实用主义态度。

十九世纪,柯西和维尔斯特拉斯用极限概念解决了矛盾,同时也扔掉了无穷小,这里无矛盾性占了上风。1961年,罗滨逊发明非标准分析,又把无穷小量请了回来,仍然没有矛盾。不过它是建立在模型论基础上,要承认非可数无穷基数的存在。

承认无穷集合,承认无穷基数,就好象打开潘朵拉的盒子,一切灾难都出来了。这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除,矛盾可以回避,数学的确定性却在一步一步丧失。最近莫利斯·克莱因写了一本《数学—确定性的丧失》一书,就是讲的这件事。

现代公理集合论的一大堆公理简直难说孰真孰假,可是又不能把它们一古脑儿消除掉,它们跟整个数学可是血肉相连的。所以第三次危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续看。矛盾既然是固有的,它的激烈冲突—危机也会给数学带来许多新内容,新认识,有时也带来革命性的变化。

把二十世纪的数学同前整个数学相比,内容不知丰富了多少,认识也不知深入了多少。在集合论的基础上,诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论。数理逻辑也兴旺发达,成为数学有机整体的—部分。古代的代数几何、微分几何、复分析现在已经推广到高维,代数数论的面貌也多次改变,变得越来越优美、完整。一系列经典问题完满地得到解决,同时又产生更多的新问题。特别是二次大战之后,新成果层出不穷,从未间断。教学呈现无比兴旺发达的景象,而这正是人们在同数学中矛盾斗争的产物。