林群：据您所说的，站在数学内部看，上个世纪的数学必须归结到1900年8月6日，在巴黎召开的第二届国际数学家大会代表会议上，38岁的德国数学家希尔伯特(Hilbert, 1862--1943)所发表的题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题。这一演说成为世界数学史发展的里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的一页。在这23个问题中，头6个问题与数学基础有关，其他17个问题涉及数论、不定积分、二次型理论、不变式理论、微分方程、变分学等领域。 

到了1905年，爱因斯坦创立了狭义相对论（事实上，有两位数学家，庞加莱和洛伦兹也已经走到了相对论的门口），1907年，他发现狭义相对论应用于物理学的其他领域都很成功，唯独不能应用于万有引力问题。为了解决这个矛盾，爱因斯坦转入了广义相对论的研究，并很快确立了“广义相对论”和“等效理论”，但数学上碰到的困难使他多年进展不大。大约在1911年前后，爱因斯坦终于发现了引力场和空间的几何性质有关，是时空弯曲的结果。因此爱因斯坦应用的数学工具是非欧几何。1915年，爱因斯坦终于用黎曼几何的框架，以及张量分析的语言完成了广义相对论。

还有您讲的德国女数学家诺特（1882~1935）发表的论文《环中的理想论》标志着抽象代数现代化开端。她教会我们用最简单、最经济、最一般的概念和术语去进行思考：如同态、理想、算子环等等。

还有其它许多数学大成果。偷懒一点说，20世纪近50名菲尔兹数学奖得主的工作都是数学内部的大成果。但从数学以外，或从推动社会发展这个角度来看，也许与计算机的算法研究有关的数学，更有影响。这种研究发生在第二次世界大战前后，有三位数学家图灵、哥德尔、冯.诺依曼，而不是工程师，由于对于计算机的诞生、设计和发展起了奠基和指导的作用，因此被列入20世纪“百年百星”的名单中。

另外两位获得诺贝尔奖的纯数学家康托洛维奇、纳什也是与算法研究或军事数学有关，后者被拍成电影，刚获得奥斯卡奖。我国首届国家最高科技奖（不是数学奖）得主吴文俊的工作也包括了算法的研究。有一次在中国十大科技进展中有一项数学家堵丁柱的工作，也是有关算法的。值得注意的是，这些人都没有获得菲尔兹奖。

与算法研究（或军事数学）有关的，还有筹学、密码学以及大规模科学工程计算等等。我怎么会有一个模模糊糊的感觉（被吴文俊感染的？），好象二十世纪中，以算法为主干的数学研究对于外部世界，科技和军事，有相当直接的影响。本世纪（信息、材料、生物）是否还会如此？等着瞧！

二、数学研究领域的重大难题

记者：刚才林院士为我们勾勒了二十世纪数学研究的图景。应该说在20世纪，无论是经典的数学分支，还是新兴的数学分支，都取得了相当大的进展。然而我们也看到，在数学研究的历程中，存在诸多遗憾，有多难题至今没有解决，或者没有得到完美的解决。林先生，在数学研究当中，您认为在数学领域存在着哪些重大难题？

林群：至于难题，应该说解决需要很大的决心，我以为我们科研工作者能做好自己的本职工作，上个世纪没有解决的难题，这个世纪也未必可以解决。应该说二十世纪是数学大发展的世纪。从报道上看，数学的许多重大难题得到了解决，如费尔玛大定理的证明，有限单群分类工作的完成等，从而使数学的基本理论得到空前发展。 计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就，同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。回首20世纪数学的发展，象您所说的，数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫·希尔伯特。正如我们在开始谈到的，希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向， 其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。效法希尔伯特，许多当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题，希望为新世纪数学的发展指明方向。

数学领域其他的难题可以说层出不穷，根据您提供的信息，简单的至少有以下几个： 

第一个是哥德巴赫猜想 

第二个是连续统之谜

第三个是四色问题

第四个是几何的三大问题 

第五个是费马最后定理

第六个是七桥问题（一笔画问题） 

七、我国数学研究现状与对远程教育的看法

记者：目前，我国基础教育正在进行课程改革和全力推行素质教育，您认为我国中小学数学教育存在什么问题，应该如何解决？ 

林群：数学是个继承的学问，最主要的部分是小学的数学，是我们学习数学的基础。中学把算术提升到代数，来求解方程，并且出现了几何，具有了数形，这样就有了初等的数学的雏形，初等数学研究固定不变的东西，然而我们的世界是变化的，高等数学研究变化的东西，在研究方法上，以不变求万变。把变化的东西瞬间冻结起来，就变成不变的东西。归根结底，我们要把变化东西变成不变的东西，再利用初等数学的方法去研究，所以中小学数学太重要了。

笛卡尔（伟大的哲学家，数学家）曾经说过，拿一个复杂的问题不能接受，除非能分解成很多简单的问题，而每个问题又能够容易解决。然后再组装起来。在我们中国有个老话：化整为零，各个击破。创新应该是继承下的创新，不能一步登天。中小学教育非常要紧。而现在的一些中小学教师不知道中小学和大学在什么地方接轨，只知道让学生解各式各样的题目，无的放矢。所以教师水平必须提高。我认为教师队伍以硕士为主，是我国教育的必行之路。

必须要有高素质的教师队伍，好的教师就有好的教法，教师是非常神圣的事业。希望广大教师朝这个目标走，现在很多政策影响我们年轻教师，超级提拔起了很坏的影响。年轻教师必须有几年积累。数学是积累第一，天才第二。所有教师要努力，提高素质，教科书改好了，如果没有高素质的教师，也没有太大的用处。 

　　我认为可以把数学的一些基本的问题放到中学中去。应该说“傻瓜数学”极其重要，数学应该被大多数人所掌握，而不是少数人掌握。比如牛顿积分公式，在古代阿基米德有很多技巧解决微积分上的一些基本问题。世上的人都很崇拜他，认为他很了不起，但是牛顿发现了积分公式，积分便为大多数人所掌握。这个公式便是一个“傻瓜化”的过程，使大多数人只要知道这个公式，经过一定的训练，便能够做解决很多积分上的问题。计算机上的算法就是解题傻瓜化。在每个领域经过训练就能够被掌握，为社会服务。

数学除了需要依靠严密的逻辑推理，还有一个发明和实验的过程。好的教师除了会证明，还有学会发明。教会学生去发明，不是仅仅教会证明。证明三角形内角和 ，是作一条平行线，但是我们事先怎么知道三角形的内角和是 呢？原来是先观察矩形，矩形的四个角是直角，所以矩形的内角和为 ，矩形能分成两个相同的直角三角形，所以每个直角三角形的内角和为 ，因为每个三角形可以分成两个直角三角形，这两个直角三角形排除两个直角，剩下的就是这个三角形的内角和，为 。

记者：林先生对远程教育和教师还有什么建议和期望？ 

林群：远程教育方向特别好，是未来教育的发展方向，代表着时代的潮流，毕竟我们很多地方不能听见很优秀的教师的讲课。如果远程教育能够完整建立，那么就数学而言，大部分人都能听见诸如吴文俊先生的讲课，对我们的未来的发展相当有益，这样我们能节约很多人力资源，这些人有更充分的时间作科学研究。但是还有很多问题没有解决，比如传输数据的问题，面对面交流的问题，疑难解答的问题等等，如果这些问题解决了，那么我们的远程教育将有相当大的优势。 

中小学是我们培养人才的基石。所以我们必须建设好这一块，我们的中小学教师默默工作在教育的最前线，成就十分伟大，为中国和世界提供很多人才，我们应该尊重教师的成果，为中国教师有这样伟大的成就而自豪。

　　但是我国的中小学教师还有不足，自己的学术视野不够宽阔，对一些科学的知识背景不了解，还有待于提高，希望我们共勉之。一起为祖国的教育事业而努力。