新几何学——《大自然的分形几何》

1975年，分形学的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）出版了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，这标志着分形理论正式诞生 。1982年曼德尔布罗特又出版了另一历史著作《大自然的分形几何》，此书虽是前书的增补本，但在曼德尔布罗特看来它却是分形理论的“宣言书”，分形迷们把它当作是一部“分形的圣经”。曼德尔布罗特的分形理论是在他考察了自然界中许多不规则的现象。　

曼德尔布罗特认为，分形几何扮演了两种角色。它技术决定论混沌的几何学，又是描述山峦、云团和星系的几何学。

自然科学与几何学总是携手并进的。17世纪，开普勒发现能用椭圆描述行星绕太阳运行的轨道。这激励了牛顿用万有引力定律解释这些椭圆轨道。

同样，理想的摆做往复运动可以用正弦波形表示。简单的动力学常常和简单的几何外形相联系。这一种数学图像暗示，物体的形状和作用于它的力之间有一种平滑的关系。在行星和摆的例子中还暗示物理学是决定论的，由系统的过去便能预测其未来。

曼德尔布罗特也谈到了他的分形几何学产生的背景。他指出，两种新近的科学进展深深影响了几何外形相联系。首先是由于认识到自然界充满了某种称为决定论混沌的事物。宇宙中许多表面看来服从决定论定律的简单物理系统，其行为仍然是不可预测的。例如，受两个力作用的摆。用决定论的观念已无法预测其运动，这使大多数人吃惊。

第二种进展来自对我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，离家近点，金融市场价格的起伏等，做数学描述所取得的成果。获取这种数学描述的一条途径在于找到“模型”。换言之，需构想或发现一些数学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”——做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版的图表等。

实际上，伽利略曾宣称，“自然界伟大的书是用数学语言写成的”，并补充说，“其特征为三角形、圆形和其他几何图形，没有这些几何图形人们只能在黑暗的迷宫中做毫无结果的游荡”。

然而不论模拟决定论混沌还是模拟不规则系统，这些欧几里得外形已经没什么用。这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。它们需要非欧几里得结构——特别是需要称之为分形几何的新几何学。

1975年，曼德尔布罗特由描述碎石的拉丁文fractus，创造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与欧几里得外形相反，是没有规则的。

首先，它们处处无规则可言。其次，它们在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近处观察，分形客体看起来一个模样——它是自相似的。　

在大自然中自相似的例子有很多，随处可见，像大树的枝叶、花草与山川河流。

整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。 

自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。

用明显的数学模型加工出的分形工艺品为谢尔宾斯基（Sierpinski）垫圈。取一个三角形并把它分割成四个较小的三角形， 拿掉中心部分的第四个三角形，便留下一个白三角形。每一个新三角形也重复上述做法，便能获得尺度不断缩小具有同样形式 的结构，边长总是教上一步边长缩小一倍。当客体的部分和整体完全相似，就可以说客体是线性自相似的。

然而，最重要的一些分形和线性自相似还是有区别的。其中有些是描述普通随机性的分形，另一些是能描述混沌，或非线 性系统的分形（在这种系统中对系统行为起作用的因素，其作用程度与其产生的效果不成比例）。让我们为上两种情况举出实例。

由于分形能构造海岸线、山峦和云团而知名，也曾用于为影片《星际旅行》制作过一些场景。

曼德尔布罗特介绍说，分形模拟著作是从少量的人类智慧和大量的博物学知识开始。人类智慧从观察某些事物入手，像立体派画家那样做观察。“云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是光的，闪电不会沿直线行进”。曼德尔布罗特强调，“所有这些自然结构都具有不规则形状，它们是自相似的。换言之，我们发现，把整体中的一部分放大便能进一步揭示其深层结构，而它几乎就是我们一开始处理的那种原始结构的复制品”。 

正是由于曼德尔布罗特看到了大自然中存在着这样的规律和特性，他创造了一种新几何学——大自然的分形学。